Demostrar que $\arctan\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)=2\arctan{x}$ todos los $|x|<1$, directamente de la definición de integral de $\arctan$

Question

Me gustaría mostrar que para$A(x) = \int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^2}dt$,$A\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)=2A(x)$, para todos los $|x|<1$.

Mi idea es empezar con $2\int_0^x\frac{1}{1+t^2}dt$ o $\int_0^{2x/(1-x^2)}\frac{1}{1+t^2}dt$, e intentar transformar uno en el otro por cambio de variables. (Tendría más sentido, por el momento, si no hemos hecho sustituciones trigonométricas, ya que estamos en la definición de las funciones trigonométricas a través de esta integral.)

Una de las varias cosas que he probado es el uso de $A(x)+A(1/x)=\pi/2$, y escribir $\int_0^{2x/(1-x^2)}\frac{1}{1+t^2}dt=\pi/2 - \int_0^{(1-x^2)/2x}\frac{1}{1+t^2}dt=\pi/2 - \int_0^{1/2x}\frac{1}{1+t^2}dt+\int_0^{x/2}\frac{1}{1+t^2}dt$, pero este no parece ser el conseguir de mí en cualquier lugar.

Alguna idea?

Answer 1

Sugerencia: Deje $f(x)=A\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ y deje $g(x)=2A(x)$, ambas definidas por integrales, precisamente como en el OP.

Utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo para mostrar que estas funciones tienen la misma derivada. Así que difieren por una constante. Entonces todo lo que usted necesita hacer es mostrar que ellos están de acuerdo en decir $x=0$, por lo que la constante es $0$.