La motivación propiedades de la distribución beta y la forma de su función de densidad es desarrollado?

Question

La densidad de la distribución beta es dado por la siguiente

$$f(x\mid \alpha ,\beta ) = \frac 1 {\operatorname{B}(\alpha,\beta)} x^{\alpha - 1} (1 - x)^{\beta - 1}$$

donde

$$ \operatorname{B}(\alpha,\beta) = \int_0^1 x^{\alpha - 1} (1 - x)^{\beta - 1} \,dx $$

es la función Beta, como el de la normalización de la constante.

Entiendo que uno de los usos de la distribución Beta es dibujar al azar probabilidades de ella. Estoy interesado en lo que da lugar a esta distribución? En particular, ¿por qué es "$x^{\alpha - 1} (1 - x)^{\beta - 1}$", no otra cosa? ¿Qué tipos de propiedades deseadas exclusiva de determinar su densidad? Y cómo la densidad de la fórmula se deriva?

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He buscado en google pero no pudo encontrar una buena explicación. Muchos libros de texto que acaba de lanzar esta en frente de usted, como viene de la nada.

Answer 1

• Una manera en la que la distribución Beta se plantea es el de la distribución de las estadísticas de orden de una muestra aleatoria de una distribución uniforme. Supongamos $X_1,\ldots, X_n$ son yo.yo.d. y distribuidos de manera uniforme en $[0,1]$. Deje $X_{(1)} < \cdots < X_{(n)}$ la correspondiente orden de las estadísticas, es decir, las observaciones se ordenan en orden creciente. A continuación, $X_{(k)} \sim\operatorname{Beta}(k,n-k+1).$

• Otra forma en que la distribución Beta se plantea es como los tiempos de llegada de un proceso de Poisson, con la condición de que el número de llegadas en un intervalo de tiempo especificado. Por ejemplo, supongamos que esto es debido a que no eran exactamente $n$ llegadas de entre los tiempos de $0$$T$. Deje $S$ es el tiempo de la $k$th llegada. A continuación, $S/T \sim\operatorname{Beta}(k,n-k+1).$

• Supongamos $R\sim\operatorname{Uniform}(0,1)$ $X_1,\ldots,X_n\mid R \sim \operatorname{i.i.d.} \operatorname{Bernoulli}(R),$ es decir $$\begin{cases} \Pr(X_1=1\mid R) = R, \\ \Pr(X_1=0\mid R) = 1-R. \end{cases}$$ Then $$ R \mid (X_1+\cdots +X_n = k) \sim \operatorname{Beta}(k+1,n-k+1).$$

• Supongamos $X$ tiene la distribución Gamma $\displaystyle \frac 1 {\Gamma(\alpha)} (x/\mu)^{\alpha-1} e^{-(x/\mu)} (dx/\mu)$ $Y$ es independiente de $X$ y tiene la distribución Gamma $\displaystyle \frac 1 {\Gamma(\beta)} (x/\mu)^{\beta-1} e^{-(x/\mu)} (dx/\mu). \vphantom{\frac {\displaystyle\int} {\displaystyle\int}} $ $X/(X+Y)$ es independiente de $X+Y$ $X/(X+Y) \sim\operatorname{Beta}(\alpha,\beta).$