Para finitos abelian grupos, muestran que $G \times G \cong H \times H$ implica $G \cong H$

Question

Deje $G$ $H$ ser finito abelian grupos que $G \times G \cong H \times H$.
A continuación,$G \cong H$.

Me estaba yendo a solo escribe la hipótesis de $G^2 \cong H^2$ y tomar las raíces cuadradas de ambos lados, pero no creo que sería suficiente (y tampoco iba a decir "true" a la de Mí mismo!)...

La hipótesis nos dice que hay un isomorfismo, decir $f: G \times G\to H \times H$.
Me gustaría usar esto para llegar a la conclusión de que no es un bijective homomorphism
$g: G \to H$. (Voy a estar usando notación aditiva...)

Desde $f((a, b) + (c, d)) = f(a,b) + f(c, d)$ todos los $a,b \in G$$c, d \in H$, yo estaba pensando acerca de la elección arbitraria $a, b \in G$ y el cálculo de:
$$ f((a, 0) + (b, 0)) = f(a, 0) + f(b, 0) \\ \Rightarrow f(a + b, 0) = f(a, 0) + f(b, 0). $$

Yo, básicamente, la necesidad de definir g de tal manera que se extrae la primera dimensión de la ecuación. Claramente (creo!), g invocará f de alguna manera. ¿Puedo tener un consejo sobre esto? Probablemente es muy simple, pero no estoy seguro de cómo expresar simbólicamente.

Yo podría no necesita mostrar que g es bijective si me puede decir algo al efecto de "esta rutina de comprobación es sencilla y a la izquierda para el lector", pero me temo que no podría ser capaz de realizar una verificación de si los pones en el mismo lugar! Aquí está una puñalada:
f inyectiva $\Leftrightarrow f(a,b) = f(c,d) \Rightarrow (a, b) = (c, d) \Rightarrow a = c \wedge b = d$
Por tanto, por definición de g (próximamente...), g(a) = g(c) implica que a = c.

Surjective: Para todos los $x, y \in H$ existe $a, b \in G : f(a,b) = (x, y)$
Hombre, realmente esto parece trivial, pero sin mi definición de g, me siento como que estoy handwaving...

Gracias de nuevo, chicos!

Answer 1

Tenga en cuenta que es suficiente para suponer que tanto $G$ $H$ son finitos $p$ grupos de torsión para algunos prime $p$ porque bajo cualquier isomorfismo $p$ torsión elementos van de la a $p$ torsión de los elementos y cualquier finito abelian grupo es suma directa de $p$ grupos de torsión para un número finito de distintas prime $p$. Por lo tanto $G$ $H$ tiene la forma $\mathbb{Z}/p^{n_1}\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p^{n_2}\mathbb{Z} \times \ldots \mathbb{Z}/p^{n_m}\mathbb{Z}$ para algunos prime $p$. Ahora usted puede utilizar la estructura teorema.