Demostrar el recíproco de la Ley de los Senos

Question

Si $\alpha,\beta,\gamma,a,b,c \in \mathbb{R}^+$, $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$, y $$ \frac{\sin(\alpha)}{a} = \frac{\sin(\beta)}{b} = \frac{\sin(\gamma)}{c} \qquad \text{ (1)}$$ entonces existe un triángulo en 2-espacio con ángulo-lado de los pares de $(\alpha,a),(\beta,b),(\gamma,c)$.

Sé que la Ley de los Senos dice que si tenemos un triángulo, a continuación, $(1)$ está satisfecho. Sé el recíproco de la declaración debe ser cierto, parece que sería. Estoy teniendo problemas de ¿cómo puedo demostrar que es cierto si es de?

Answer 1

Recordar que para cualquier $\alpha,\beta,\gamma>0$ (medido en grados) con $\alpha+\beta+\gamma=180$ hay un triángulo con ángulos $\alpha,\beta,$$\gamma$. Por la ley de los senos de las longitudes de los lados de satisfacer $\sin\alpha/s_1 = \sin\beta/s_2 = \sin\gamma/s_3$. Ahora multiplicar las longitudes de lado por un factor de $t$, de modo que $s_1t = a$. Pretendemos que $s_2t = b$$s_3t = c$. De hecho, $$ s_2t = \frac{s_2}{s_1} s_1t = \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} s_1 t = \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} $$ $$ = \frac{a}{\sin \alpha} \sin \beta = \frac{b}{\sin \beta} \sin \beta = b. $$ El resultado de $s_3t=c$ es similar. Así, el reclamo está probado.