Como cada vértice está etiquetado con un subconjunto con dos elementos de $\{1,2,3,4,5\}$ entonces cualquier permutación de $\{1,2,3,4,5\}$ va a inducir una permutación de los vértices. Además, si $\{a,b\}\cap\{c,d\}=\emptyset$ y $\sigma$ es una permutación de $\{1,2,3,4,5\}$ entonces $\{\sigma(a),\sigma(b)\}\cap\{\sigma(c),\sigma(d)\} = \emptyset$ . Es decir: esta permutación de los vértices envía vértices adyacentes a vértices adyacentes (y vértices no adyacentes a vértices no adyacentes).
Además, dos permutaciones inducen la misma permutación de los vértices si y sólo si son permutaciones idénticas (deberías demostrarlo). Esto significa que cada elemento de $S_5$ induce un automorfismo distinto del grafo.
¿Son estos todos los automorfismos, o hay más? Si $\tau$ es cualquier automorfismo, entonces componiendo con una permutación apropiada de $\{1,2,3,4,5\}$ puede suponer que el mapa fija $\{1,2\}$ lo que significa que los vértices adyacentes a $\{1,2\}$ , $\{3,4\}$ , $\{3,5\}$ y $\{4,5\}$ deben estar en correspondencia con los demás. Componiendo con una permutación apropiada (que fija $1$ y $2$ ) se puede suponer que la permutación también fija $\{3,4\}$ y componiendo de nuevo mediante una permutación adecuada, puede hacer que se fije también $\{3,5\}$ $\{4,5\}$ (de nuevo, tienes que demostrarlo). Así que te quedas con un automorfismo que fija $\{1,2\}$ y sus tres vecinos. Si puedes demostrar que esto es también dada por una permutación de $\{1,2,3,4,5\}$ entonces habrás demostrado que cada automorfismo "viene" de un elemento de $S_5$ (ya que componiendo con un automorfismo adecuado que hacer te da la identidad).
