La probabilidad condicional de puertas.

Question

Una hidráulico de la estructura tiene cuatro puertas que funcionan de manera independiente . La probabilidad de fallo de cada puerta es de 0.1.

Dado que la puerta 1 ha fallado, ¿cuál es la probabilidad de que la puerta 2 y la puerta 3 fallará ?

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Creo que la respuesta es $P(G_2 \cap G_3) / P(G_1) = (0.1*0.1)/0.1 = 0.1$

Estoy en lo cierto?

Answer 1

Creo que la respuesta es $P(G_2 \cap G_3) / P(G_1) = (0.1*0.1)/0.1 = 0.1$

Estoy en lo cierto?

No; no del todo.

La definición de probabilidad condicional de la efs: $\mathsf P(B\mid A)=\mathsf P(A\cap B)\big/\mathsf P(A)$, por lo tanto:

$$\mathsf P(G_2\cap G_3\mid G_1) = \dfrac{\mathsf P(G_1\cap G_2\cap G_3)}{\mathsf P(G_1)}$$

De lo contrario, se usa correctamente las reglas producto de la intersección de las independientes de los eventos. Así, entonces: $$\require{cancel}\mathsf P(G_2\cap G_3\mid G_1) ~{= \dfrac{\cancel{~\mathsf P(G_1)~}\mathsf P(G_2)~\mathsf P(G_3)}{\cancel{~\mathsf P(G_1)~}}\\=~0.01}$$

Eso es todo.

Answer 2

Deje $G_i$ ser el evento "puerta de $i$ ha fracasado". Como el $G_i$ son independientes, sabiendo $G_1$ no cambia la probabilidad de un evento que sólo depende de $G_2$$G_3$. Esto significa que $$ P(G_2\cap G_3|G_1) = P(G_2 \cap G_3) $$ Por la independencia, esta probabilidad es igual a $P(G_2)P(G_3) = 0.1\times0.1 = 0.01$.