Adivinanza de parejas de baile

Question

Imagina que hay $5$ mujeres y $5$ hombres en una discoteca. Dos de las chicas tienen dos hermanos entre los chicos.

(la imagen muestra relaciones entre hermanos)

¿De cuántas maneras diferentes se pueden organizar parejas de mujeres-hombres si no se permite que los hermanos bailen juntos?

Ahora, he hecho trampa un poco y he obtenido la respuesta, $48$ combinaciones diferentes, usando un programa de computadora. Pero tengo problemas para encontrar una solución matemática más elegante y general a este problema.

Answer 1

Considera la primera niña que tiene dos hermanos.

Si decide bailar con uno de los dos hermanos de la otra niña, la otra niña tiene $3$ opciones. El número de maneras en que las otras tres niñas pueden emparejarse con los otros tres chicos es $3!$. Por lo tanto, el número de maneras es $2 \times 3 \times 3!$.

Si la primera niña decide bailar con el chico que no tiene una hermana, entonces la segunda niña solo tiene $2$ opciones. Y como se mencionó anteriormente, el número de maneras en que las otras tres niñas pueden emparejarse con los otros tres chicos es $3!$. Por lo tanto, el número de maneras en este caso es $1 \times 2 \times 3!$.

Sumando ambos casos nos da $(2 \times 3 + 2) \times 3! = 8 \times 6 = 48$.