Esto es falso ya que podemos tener más de un elemento de norma $2$ . Por ejemplo, considere el campo $\mathbb{Q}(\alpha)$ , donde $\alpha$ es una raíz de $x^3-3$ . Entonces $a_1=1-\alpha$ y $a_2=1+\alpha+\alpha^2$ ambos tienen norma $2$ pero ninguno divide al otro.
En general, si asumimos $O_K$ es un dominio de factorización único (que rara vez lo es, pero entonces deberíamos hablar de ideales), entonces puede ocurrir una de estas tres cosas La primera, $2$ puede permanecer irreducible en $O_K$ en cuyo caso no hay ningún elemento de la norma $2$ pero cualquier elemento con norma par es divisible por $2$ . En segundo lugar, tenemos $2=u \cdot a^k$ para algún elemento irreducible $a$ y la unidad $u$ en cuyo caso su afirmación también es válida.
Por último, sin embargo, podemos tener $2=a_1\cdots a_n$ para algunos elementos irreducibles $a_1,\cdots a_n$ . Entonces, si la norma de un elemento es par, podemos decir que uno de los $a_i$ debe dividir su elemento, pero no sabemos cuál.
En el lado de los ideales, estos casos corresponden a totalmente inertes, totalmente ramificados (en cuyo caso sólo se obtiene un elemento de norma $2$ para que el argumento funcione), y dividir. En el caso de la división, podemos permitir la ramificación pero la inercia nos impedirá obtener un elemento de orden $2$ para ese primo en particular.
Por último, debo añadir que no había nada especial en $2$ aquí; podemos utilizar el mismo argumento para cualquier primo racional $p$ .
