Polinomios con intervalos especificados en intervalos

Question

Decir que tengo dos finito de intervalos de $[a,b],[c,d]\subsetneq\Bbb R$ donde$a<b<c-1<c<d$$b-a=d-c=s<1$.

Quiero encontrar un polinomio $f \in \Bbb R[x]$ tal que $$\forall x\in[a,b],\mbox{ }f(x) \in\big[\frac{a+b}{2} - r, \frac{a+b}{2} + r\big]$$ and $$\forall x\in[c,d],\mbox{ }f(x) \in\big[\frac{c+d}{2} - r, \frac{c+d}{2} + r\big]$$ for some fixed $r\en(0,\frac{s}{2})$.

Entonces, ¿cuál es el menor grado del polinomio que puedo utilizar?

Hacer polinomios de Chebyshev de ayuda aquí? Sé que para cada intervalo I puede encontrar dos cambiar la escala y los polinomios de Tchebyshev para conseguir lo que quiero por separado en cada intervalo de tiempo. Sin embargo, para encontrar un polinomio que funciona en ambos intervalos es difícil. Puedo tratar de hacer una suma ponderada de los diferentes polinomios de Tchebyshev. Sin embargo, a continuación, no puedo garantizar que es lo que quiero.

Deje $T_n(x)$ ser Tchebyshev polinomio de un grado $n$ que toma valor entre el$(-1,+1)$$x\in(-1,1)$.

Entonces $$f_{a,b}(x)=\frac{a+b}{2}+r\cdot T_n\big(-\frac{2}{a-b}x+\frac{a+b}{a-b}\big)$$ and $$f_{c,d}(x)=\frac{c+d}{2}+r\cdot T_n\big(-\frac{2}{c-d}x+\frac{c+d}{c-d}\big)$$ hace el trabajo para cada intervalo por separado.

Puedo construir $f(x)$ $f_{a,b}(x)$ $f_{c,d}(x)$ mediante el uso de algunas suma ponderada. ¿Cuál sería el grado del polinomio resultante?

Answer 1

Sugerencia:

Un grado cinco de la versión puede funcionar. Symmetrize cosas alrededor de cero, y cambiar la escala de modo que los dos puntos están en $1,-1.$ Insisten en $f(x)=ax+bx^3+cx^5,$, que ya es raro que significa que uno sólo necesita mirar en el intervalo que contiene el punto medio $1$. Así que si $s<1<t$, son los dos extremos del intervalo de $[s,t]$ con el punto medio de la $1$, le enviaremos $1$ a sí mismo, y, a continuación, elija un intervalo $[m,n]$ $1$ para la imagen, y bien podemos tener el punto medio de la $[m,n]$ $1$ también. También escogemos $m,n$ lo suficientemente cerca como para $1$ de que el intervalo de $[s,t]$ obtiene encogido por la cantidad adecuada para satisfacer las condiciones.

Ahora uno puede comprobar que las tres ecuaciones $f(1)=1,\ f(s)=m,\ f(t)=n$ de plomo siempre de manera única solución de las ecuaciones para los coeficientes $a,b,c.$ [Esta es una cuestión de buscar en el determinante del sistema.] Si uno es afortunado que la curva resultante va a terminar el aumento en el intervalo de $[s,t],$ y el intervalo de mapa en el intervalo de $[m,n].$

Tan simple como parece, este esquema sí, de hecho cuando yo tomé $s=0.8,\ t=1.2$ y fuimos a reducir por un factor de $1/2$ través $m=0.9,n=1.1.$ Cuando hice esto, el coeficiente de $x^3$ salió negativo, sin embargo la función cuando graficados fue en aumento. Probablemente derivado, una ecuación cuadrática en $x^2,$ fue negativo discriminante, aunque yo no comprobar que.

Puede que esto no siempre funciona, y aun de ver si se hace implicaría tal vez prohibitivo simbólico, álgebra, con el fin de obtener información suficiente sobre los coeficientes $a,b,c$ en términos de los parámetros elegidos $s,t,m,n.$