Estoy perplejo por el siguiente ejercicio (3.24 en Biler--Witkowski del libro "Problemas de análisis matemático"):
Deje $f$ ser un continuo y creciente en función de $[0,+\infty]$ a sí mismo. Mostrar que $$\sum \frac{1}{f(n)}$$ converge iff $$\sum \frac{f^{-1}(n)}{n^2}$$ converge.
Al principio, yo pensaba que uno podía aplicar la integral de la prueba y hacer un cambio de variables en la integral (asumiendo $f$$C^1$, decir, que no cambia nada) para pasar de una serie a la otra. Esto no acaba de funcionar - uno de los temas que $x \mapsto \frac{f^{-1}(x)}{x^2}$ no necesita estar disminuyendo.
Creo que probablemente estoy perdiendo algo obvio, ya que el ejercicio no siquiera merecen una sugerencia en el libro - alguien tiene una idea?
Nota: esta no es la tarea! No he utilizado la serie en un tiempo y la necesidad de cepillar para arriba en ellos para una clase voy a enseñar durante el verano, así que he pensado que me gustaría pasar el fin de semana haciendo ejercicios - tan lejos, tan bueno, excepto para este ejercicio en particular.
Gracias por su ayuda!
