Acuerdo de dos polinomios

Question

¿Cómo puedo probar que si dos polinomios (de la matriz de coeficientes) de acuerdo en un barrio de $0$, son idénticos?

Gracias!

Answer 1

Tenga en cuenta que esto se reduce a la comprobación de que cualquier polinomio que es $0$ en un barrio de $0$ es el polinomio cero. Supongamos $A_nX^n+\cdots+A_1X+A_0=0$ todos los $X\in U$ donde $U\subset M_n(\mathbb C)$ es un conjunto abierto que contiene a $0$. A continuación tenemos algunos de bolas $B_r(0)$ que $A_nX^n+\cdots+A_0=0$, y, de hecho, desde los polinomios son continuas $A_nX^n+\cdots+A_0=0$$\overline{B_r(0)}=\{X: \|X\|\leq r\}$. Considere las matrices $X_{kj}$ que sólo se tienen el uno a cero de entrada, $\frac{jr}{n}$, que es el $k^{th}$ entrada a lo largo de la diagonal. Observe que para $1\leq k,j\leq n$ cada matriz se encuentra en $\overline{B_r(0)}$, lo $A_nX_{kj}^n+\cdots+A_0=0$. Además, $$\{v_j\}_{j=1}^n=\left\{\left(\left(\frac{jr}{n}\right)^n,\left(\frac{jr}{n}\right)^{n-1},\ldots,1\right)\right\}_{j=1}^n$$ es una base para$\mathbb C^n$$\mathbb C$, y para todos los $j$ $$0=A_nX_{kj}^n+\cdots+A_0=a_{nk}\left(\frac{jr}{n}\right)^n+\cdots+a_{0k}=(a_{nk}|\cdots|a_{0k})v_{j}$$ donde $a_{xy}$ indica el $y^{th}$ vector columna de $A_x$. Por tanto, para todos $k$, $(a_{nk}|\cdots|a_{0k})=0$ para cada columna de cada matriz $A_x$ debe $0$. Por lo tanto $A_n=\cdots=A_0=0$.

Comentario: La misma prueba de obras en $\mathrm{GL}_n(\mathbb C)$ si se sustituye la diagonal entradas de $X_{kj}$ se $0$$1$.