En un grupo de $(Z,*)$, $(a*b)^{5}=a^{5}*b^{5},\forall a,b\in Z$ y $(a*b)^{3}=a^{3}*b^{3}$ demostrar que $Z$ es abelian. Yo sé que para tres enteros consecutivos si $(a*b)^{i}=a^{i}*b^{i},\forall a,b\in Z$ sostiene, a continuación, $Z$ es abelian. Sé que tengo uso de esta propiedad y que tengo uso de tres enteros consecutivos $3,4$$5$. Pero estoy atascado.
Respuestas
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(Voy a escribir $xy$ en lugar de $x*y$ por la simplicidad.)
$(ab)^5=a^5b^5\implies ababababab=aaaaabbbbb\implies babababa=aaaabbbb$
$(ab)^3=a^3b^3\implies ababab=aaabbb\implies baba=aabb$
De $baba=aabb$, obtenemos $babababa=aabbaabb$. La combinación de con $babababa=aaaabbbb$ da $aabbaabb=aaaabbbb$, lo $bbaa=aabb$. Combina de nuevo con $baba=aabb$ da $bbaa=baba$, lo $ba=ab$. Esto es cierto para cualquier $a,b\in Z$, lo $Z$ es abelian.
Lorin Hochstein
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Un grupo de $G$ se dice $n$-abelian si $(ab)^n = a^nb^n$ todos los $a,b\in G$. Dado un grupo de $G$, el "exponente semigroup de $G$" se define como $$\mathcal{E}(G) = \{n\in\mathbb{Z}\mid (ab)^n =a^nb^n\text{ for all }a,b\in G\}.$$ Propiedades de $\mathcal{E}(G)$ establecido por Levi (ver respuesta anterior) implica que si $3,5\in\mathcal{E}(G)$,$\mathcal{E}(G)=\mathbb{Z}$, dando a su conclusión deseada.
Para un poco menos de alta potencia a prueba, tenga en cuenta que, en general, tenemos que $$(ab)^n = a^nb^n \iff (ba)^{n-1}=a^{n-1}b^{n-1}$$ el cual puede ser obtenido por la cancelación de una sola $a$ y una sola $b$. Por lo tanto, si $n\in\mathcal{E}(G)$, luego $$(xy)^{(n-1)^2} = \bigl( (xy)^{n-1}\bigr)^{n-1} = \bigl( y^{n-1}x^{n-1}\bigr)^{n-1} = (x^{n-1})^{n-1}(y^{n-1})^{n-1} = x^{(n-1)^2}y^{(n-1)^2}.$$ Es decir, $n\in\mathcal{E}(G)$ implica $(n-1)^2\in\mathcal{E}(G)$.
Aquí, usted sabe $3\in\mathcal{E}(G)$, por lo tanto $(3-1)^2 = 4\in\mathcal{E}(G)$. Así que ahora tenemos que $3$, $4$, y $5$ son todos en $\mathcal{E}(G)$, y como nota, se sabe que si $\mathcal{E}(G)$ contiene tres números enteros consecutivos, a continuación, contiene todos los números enteros, por lo tanto $G$ es abelian.
(Esto es esencialmente jgnr's respuesta, sólo echar un poco más en general)
Como una alternativa, pero también algo de alta potencia a prueba, podemos seguir Steve Ds buena observación: por el teorema de Alperin citado en el respondió vinculado anteriormente, una $3$-grupo abelian es un cociente de un subgrupo de un producto directo de abelian grupos, grupos de exponente $3$, y los grupos de exponente $2$; pero estos últimos son abelian así, por lo $G$ será un cociente de un subgrupo de un producto directo de abelian y grupos de exponente $3$. Si había un elemento que no es central (que no conmuta con todo) entonces tendría que ser un elemento de orden $3$. Pero por la misma caracterización, desde el $G$ $5$- abelian es un cociente de un subgrupo de un producto directo de abelian grupos, grupos de exponente $4$, y los grupos de exponente $5$. Así que un noncentral elemento tendría que tener un orden dividiendo $20$. Desde $\gcd(3,20)=1$, no puede haber noncentral elementos (tendría que haber exponente $3$ y el exponente $20=4\times 5$, por lo tanto exponente $1$, por lo tanto, ser trivial, por lo que es central). Por lo $G=Z(G)$, por lo tanto $G$ es abelian.
