Teorema del haz grassmanniano

Question

Consideremos un haz vectorial $E$ de rango $n$ sobre un colector compacto $X$ . Consideremos el haz grassmanniano asociado $G$ para algunos $k < n$ que se obtiene sustituyendo cada fibra $E_x$ por $Gr(k,E_x)$ .

Supongamos que hay una bandera completa de subbunldes $F_1 \subset F_2 \dots \subset F_n \subset E$ . Creo que en este caso somos capaces de definir ciclos de Schubert relativos en G que se restringen a ciclos de Schubert habituales en cada fibra, de modo que podemos aplicar el teorema de Leray-Hirsh para deducir que $H^*(G) = H^*(X) \otimes H^*(Gr(k,n))$ .

1. ¿Es correcto el razonamiento anterior?
2. ¿Podemos seguir calculando $H^*(G)$ ¿en el caso de que no exista la bandera completa de los subfondos?

EDIT: Me refería a los haces vectoriales complejos y a los grassmanianos complejos. También el haz puede ser asumido holomórfico o algebraico si hace una diferencia.

EDIT: Ben en su respuesta menciona la secuencia espectral de Serre que se puede utilizar en este caso. ¿Hay alguna razón por la que va a degenerar a dejar $H^*(X) \otimes H^*(Gr(k, n))$ como resultado?

Answer 1

Re 1.: el razonamiento es correcto aditivamente, pero no multiplicativamente (¿comprobó el caso $k=1$ ?).

Re 2.: dado cualquier haz complejo $E$ en $X$ de rango $n$ la cohomología del haz grassmanniano asociado de $k$ -Aviones es $$H^{\bullet}(X,\mathbf{Z})\otimes\mathbf{Z}[c_1,\ldots,c_k,c_1',\ldots,c_{n-k}']/(1+c_1+\cdots +c_k)(1+c_1'+\cdots +c_{n-k}')=c(E)$$ donde $\deg c_i=\deg c'_i=2i$ y $c(E)$ es la clase de Chern total de $E$ .

Se trata de una modificación del truco de Grothendieck que calcula la cohomología del haz vectorial proyectivizado.

upd: aquí hay un esbozo de una prueba de la fórmula anterior. En el espacio total $G$ del haz vectorial del Grassmanniano existe la tautología $k$ -plano de paquetes $S$ que es un subfondo del pullback $E'$ de $E$ bajo la proyección del haz $p:G\to X$ . Sea $Q$ sea el haz cociente. Tenemos $c(S)c(Q)=c(E')$ . Así que obtenemos un mapa algebraico del álgebra anterior a la cohomología de $G$ (tomando un elemento de $H^{\bullet}(X,\mathbf{Z})$ a su retroceso, $c_i$ a $c_i(S)$ y $c_i'$ a $c_i(Q)$ ) y tenemos que demostrar que es un isomorfismo.

Surjetividad: elijamos una $\mathbf{Z}$ -de la cohomología del Grassmanniano, expresar cada elemento como un polinomio en las clases de Chern del haz tautológico y tomar los polinomios resultantes en $c_i(S)$ 's. Cuando se restringen a cualquier fibra, forman una $\mathbf{Z}$ -de la cohomología de la fibra, así que por el principio de Leray-Hirsch, $H^{\bullet}(G,\mathbf{Z})$ es un programa gratuito $H^{\bullet}(X,\mathbf{Z})$ -módulo abarcado por estas clases.

Inyectabilidad: el álgebra anterior es también un módulo libre sobre $H^{\bullet}(X,\mathbf{Z})$ y el mapa anterior de él a $H^{\bullet}(G,\mathbf{Z})$ lleva una base a una base.

Answer 2

Eso suena razonable, aunque recuerda que pedir una bandera completa como esa es una condición MUY restrictiva; en la categoría suave, es equivalente a pedir que tu haz de vectores sea una suma de haces de líneas.

Para el caso general, existe una secuencia espectral de la que ha escrito el $E^2$ -termino. En los casos en los que la base es agradable, se puede tener cierto control sobre lo que ocurre (por ejemplo, en el caso complejo, si la base no tiene cohomología impar, estás listo). La afirmación general más útil que conozco es el "lema de Hirsch". Ver 3.1 en este papel de Deligne, Griffiths, Sullivan y Morgan .

Answer 3

La respuesta de algori es completamente correcta. En caso de que quieras una referencia, este material está en el capítulo 14 del libro de Fulton Teoría de la intersección . (Excepto que Fulton está escribiendo sobre anillos de Chow y tú has hecho la pregunta en cohomología). En particular, la estructura aditiva es la Proposición 14.6.5 y la estructura de anillos es la 14.6.6.

No estoy seguro de cuáles son las mejores referencias para los enunciados análogos en cohomología, pero podrías intentar rastrear las referencias de Fulton y ver si te ayudan.