Hartshorne Página 150, Teorema 7.1

Question

Teorema 7.1 (a) dice que - Si $\phi$: $X \rightarrow \mathbb P_A^n $ es una $A$- morfismos, a continuación, $\phi^*(\mathcal O(1)) $ es invertible gavilla en $X$, el cual es generado por el mundial de secciones $s_i=\phi^*(x_i) $, $i$=0,1,...,n.

No sé cómo probar que el mundial secciones $s_i$ generar $ \phi ^*(\mathcal O(1)) $.

También tengo una pregunta más en la prueba de 7.1 (b)- Mientras que el anillo de homomorphism $A[y_0,...,y_n]$ $\rightarrow$ $\Gamma$($X_i$, $\mathcal O_X{_i} $), yo no undrstand ¿qué es $ s_i / s_j $ . Aquí $s_i $ $s_j$ son dos mundiales de secciones de un $ \mathcal O_X $- módulo. Cómo undersatnd que su cociente(?) es un elemento de $\Gamma$ ($X_i$, $\mathcal O_X{_i}$).

¿Alguien puede por favor explicar estas cosas.

Answer 1

Las secciones $s_i$ $s_j$ son secciones de una invertible gavilla (no cualquier edad $\mathcal O_X$-módulo). Por definición, $s_i$ está en ninguna parte de cero en $X_i$, y así, a continuación, $s_i$ forma una base para la invertible gavilla $X_i$, es decir, proporciona una banalización de la invertible gavilla $X_i$. Así se puede escribir, en $X_i$, $s_j = f s_i$ para algunos la sección $f$$\mathcal O_X$$X_i$. Por razones obvias, uno denota $f$$s_j/s_i$.

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En cuanto a tu primera pregunta, compruebe que $x_0, \ldots, x_n$ generar $\mathcal O(1)$$\mathbb P^n$. A continuación, compruebe que esta propiedad se conserva bajo un pull-back.