Realizar una sustitución para evaluar $\int (x + 1) (x^2 + 2 x)^5dx$

Question

El problema es: $$ \int { (x+1)({ x }^{ 2 } } +2x{ ) }^{ 5 }dx $$

El siguiente paso dado por WolframAlpha es $$\int { (x+1)({ x }^{ 2 } } +2x{ ) }^{ 5 }dx\\ =\quad \frac { 1 }{ 2 } \int { { u }^{ 5 }du } $$

(Mientras me doy cuenta de que estoy haciendo algo malo)

Los pasos que estoy dando son : $ \int { (x+1)({ x }^{ 2 } } +2x{ ) }^{ 5 }dx$ .

Dejemos que $u={ x }^{ 2 }+2x, \, du = 2x+2\, dx$ . Entonces veo que puedo reescribir $du$ como $du = 2(x+1)dx$ dándome $\frac { du }{ 2 } = (x+1)\, dx$ .

Ahora puedo ver dónde está el $ \frac { 1 }{ 2 } $ pero no consigo visualizar los siguientes pasos para llegar a

$$ \int { (x+1)({ x }^{ 2 } } +2x{ ) }^{ 5 }dx=\frac { 1 }{ 2 } \int { { u }^{ 5 }du } $$

Answer 1

En su pregunta ya indica que encontró que $$\frac{\mathrm{d}u}{2} = (x+1)\mathrm{d}x$$

al hacer la sustitución $u=x^2+2x$ . Al hacer esta sustitución en la integral, obtenemos $$\int (x+1)(x^2+2x)^5 \mathrm{d}x = \int (x+1)u^5 \mathrm{d}x = \int u^5 (x+1)\mathrm{d}x = \int u^5 \frac{\mathrm{d}u}{2} = \frac{1}{2} \int u^5 \mathrm{d}u$$

Answer 2

Desde $(x^2 + 2 x)^5 = u^5$ podemos utilizar la ecuación $(x + 1) \,dx = \frac{1}{2} du$ para escribir la integral como $$\int \underbrace{(x^2 + 2 x)^5}_{u^5} \,\underbrace{(x + 1) \,dx}_{\frac{1}{2} du} = \int u^5 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^5 \,du .$$