Para un operador habitual es cierto que $\|T^*T^2\| = \|T^3\|$?

Question

Para un normal operador es siempre cierto que $\|T^*T^2\| = \|T^3\|$?

Ver la aceptación respuesta para el caso en un espacio de Hilbert

Actualización: ¿y $\|T^*T^2\| = \|T\|^3$ en un espacio de Hilbert

Answer 1

Observe que para cada vector de $x$, uno tiene $$\|T^* T^2(x)\|^2 = \langle T^* T^2(x),T^* T^2(x) \rangle = \langle TT^*T^2(x), T^2(x)\rangle = \langle T^*T^3(x),T^2(x) \rangle = \langle T^3(x),T^3(x) \rangle = \|T^3(x)\|^2.$$ Thus $$\|T^3\| = \sup_{\|x\|=1} \|T^3(x)\| = \sup_{\|x\|=1}\|T^*T^2(x)\| = \|T^*T^2\|.$$

Answer 2

Diagonalización puede ayudar aquí. (Cuando en la duda y el trabajo con la normal de matrices, trate de la utilización de diagonalización!)

Escribir $T = UDU^*$,$T^* = UD^* U^*$, dando a ese $T^*T^2 = UD^*D^2U^*$. Sin embargo $T^3 = UD^3 U^*$. Desde unitaria de la conjugación de no cambiar el operador de la norma, esto se reduce a la consideración de $D^*D^2$$D^3$. Aquí $Dg(x) = f(x)g(x)$ para algunos (esencialmente) delimitada la función $f$. A continuación,$\|D^*D^2\| = \|\overline{f}f^2\|_{\infty}$$\|D^3\| = \|f^3\|_{\infty}$. Voy a dejar de tomar de aquí.