La varianza de dibujo monedas de una bolsa.

Question

En primer lugar, la renuncia, esta fue una tarea de la pregunta, aunque sea uno que me he convertido ya en.

Se me dio el problema

There is a bag containing forty coins: 5 nickels, 10 dimes, and
25 quarters. Let X be the value of drawing twenty coins out of
this bag at random without replacement. Calculate the expected
value and the variance of X

He calculado $\mathbb{E}[X]$ señalando que sería de esperar para agarrar la mitad de cada tipo de moneda, por lo $\mathbb{E}[X]=2.5(.05)+5(.10)+12.5(.25)=3.75$. Donde me atoré fue el cálculo de la varianza. Soy consciente de la fórmula $Var[X]=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])^2]$, lo que parece relevante, pero no estoy seguro de cómo aplicarlo. Cualquier sugerencias/ayuda se agradece!

Answer 1

El segundo momento $E(X^2)$ está dado por $$ E(X^2)=\sum_{i=1}^{20} E(X_i^2)+2\sum_{i=1}^{20} \sum_{j=i+1}^{20} E(X_i X_j) $$ $$ =20E(X_1^2)+20\times19\times E(X_1X_2) $$ Obviamente, $$ E(X_1^2)=(5/40)*0.05^2+(10/40)\los tiempos de 0.10^2+(25/40)\times 0.25^2. $$ Para encontrar $E(X_1X_2)$, imaginar que las monedas son atraídos uno por uno sin reemplazo. Los siguientes seis desordenada resultados pueden estar asociadas con los dos primeros dibujos: $\{N,N\}, \{N,D\}, \{N,Q\}, \{D,D\}, \{D,Q\},\text{ and }\{Q,Q\}$ con sus respectivas probabilidades $\frac{5}{40}\frac{4}{39}=\frac{20}{1560}$, $\frac{5}{40}\frac{10}{39}+\frac{10}{40}\frac{5}{39}=\frac{100}{1560}$, $\frac{5}{40}\frac{25}{39}+\frac{25}{40}\frac{5}{39}=\frac{250}{1560}$, $\frac{90}{1560}$, $\frac{500}{1560}$, y $\frac{600}{1560}$. Esto nos da: $$ E(X_1X_2)=\frac{20*0.0025+100*005+250*0.0125+90*0.01+500*0.025+600*0.0625}{1560} $$

Answer 2

Sugerencia: $Var(X)=\mathbb{E}[X^2]-(\mathbb{E}[X])^2$

(Porque: $Var(X)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])^2]=\mathbb{E}[X^2-2X\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[X]^2]$ $=\mathbb{E}[X^2]-2\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[X]+(\mathbb{E}[X])^2=$ $\mathbb{E}[X^2]-(\mathbb{E}[X])^2$ )

Ya tiene $\mathbb{E}[X]$, ¿sabes cómo calcular el $\mathbb{E}[X^2]$?

Así para calcular el $\mathbb{E}[X^2]$ puede utilizar la siguiente proposición:

$$\mathbb{E}[g(X)]=\sum_{x\in D}g(x)\mathbb{P}\{X=x\}=\sum_{x\in D}g(x)f_X(x)$$

Donde $D$ es un conjunto tal que $\mathbb{P}\{X\in D\}=1.$ En este caso, $g(x)=x^2$. El único problema es que hay muchos elementos en $D$ en su problema, que hace que sea un poco difícil de calcular. Por ahora eso es todo lo que puedo pensar.