La declaración de $V=L$ es un axioma adicional a la habitual de los axiomas de $ZFC$. No es un problema abierto si es o no es cierto, este es el básico de resultados por Cohen cuando por primera vez se desarrolló la técnica de forzar:
Supongamos que $ZFC+V=L$ es consistente y tiene una contables transitiva modelo, se puede producir una contables transitiva modelo de $ZFC+V\neq L$. Esto muestra que no se puede demostrar ni refutar $V=L$ a partir de los axiomas de $ZFC$, sino que debe asumir que trabajamos en $L$ o que no trabajamos en $L$.
Sólo así hay otros definibles por el interior de los modelos, $L[A]$ en la que añadimos un predicado $A$ a de la lengua; o $L(A)$ en el que vamos a un modelo definido al iniciar desde el set $A$ (o de su clausura transitiva). Hay modelos que pueden ser algo más grande como $OD$ (sets, que son definidos por los números ordinales) y extensiones similares. Decir que las colecciones son "definibles por el interior de los modelos" significa que la colección de $\{x\mid\varphi(x,y)\}$ para algunos de fórmula $x$ con un parámetro de $y$ es un modelo de $ZFC$ que es una subclase de universo.
La cuestión de si o no el universo de la teoría de conjuntos en la que trabajo en un momento dado satisface tal axioma depende de la modelo, muy similar a trabajar en un algebraicamente cerrado de campo no significa que $\pi$ es en ese campo.
El edificable universo comienza a partir de la idea de definability. Podemos escribir las fórmulas en el lenguaje de la teoría de conjuntos, estas fórmulas pueden ser satisfechos a veces, por ejemplo, $\varphi(x):=\forall y(y\notin x)$ será cierto sólo si $x=\varnothing$.
Podemos definir un montón de cosas, y podemos definir las cosas con parámetros, que es $\varphi(x,y)$ a ser una fórmula que después de la fijación de la variable $y$ a un determinado conjunto sólo una determinada colección de elementos colocados en $x$ le dará un valor true.
La construcción de la $L$ comienza con el conjunto vacío, entonces comenzamos la recopilación de todo lo que es definible sobre el conjunto vacío, en este caso no es mucho. Luego tomamos las cosas que son definibles más que de la colección, y así sucesivamente. Continuamos esta por encima de todos los ordinales, donde en el límite de las etapas de simplemente recoger todo lo que tenemos hasta ahora.
El resultado, como resulta, es un modelo de $ZFC$ (sentado que empezamos con un modelo de $ZF$) y la parte más sorprendente es que no hay una fórmula $\varphi(x)$, en el lenguaje de la teoría de conjuntos, que es cierto exactamente al $x$ es de la colección. Por lo que el axioma $\forall x.\varphi(x)$ sería el de asegurar que el modelo es exactamente $L$.
En contraste, la de von Neumann universo simplemente comienza con un conjunto vacío, y se reitera el poder conjunto de la operación, en lugar de limitar a nosotros mismos para definibles cosas, se toma todo lo que el universo tiene para ofrecer. Esto nos da un modelo de $ZF$ (no necesariamente $ZFC$) y este modelo puede ser muy salvaje en comparación a $L$.
La construcción de la $L$ es tan rígido que no se puede cambiar mediante la adición de nuevos conjuntos para el universo (por ejemplo, obligando a) o considerando interior de los modelos (una subclase de universo que es también un modelo de $ZF$). La construcción de von Neumann es válido para cada modelo de $ZF$, por lo que si $M$ fue un modelo de $ZF$ y empiezo a reiterar el juego de poder (en $M$) operación de $\varnothing$ me va a terminar con $M$ nuevo. Esto nos dice que cada uno de los universos de $ZFC$ puede ser construido como una de von Neumann universo, $L$.
Si, sin embargo, empecé con $M$ y rehice el $L$ construcción voy a acabar con $L$, por lo que si $M\models V\neq L$ el resultado será un modelo diferente.
Para terminar con un menor comentario, el universo de la teoría de conjuntos no es un juego sino una clase. Por lo $L$ no es un subconjunto del universo, sino una subclase de universo, la distinción es importante porque los conjuntos de elementos del universo y (correcto) clases.
