Si $\frac{\sin^4 x}{a}+\frac{\cos^4 x}{b}=\frac{1}{a+b}$ entonces demuestre que $\frac{\sin^6 x}{a^2}+\frac{\cos^6 x}{b^2}=\frac{1}{(a+b)^2}$

Question

Si $\frac{\sin^4 x}{a}+\frac{\cos^4 x}{b}=\frac{1}{a+b}$ entonces demuestre que $\frac{\sin^6 x}{a^2}+\frac{\cos^6 x}{b^2}=\frac{1}{(a+b)^2}$

Mi trabajo:
$(\frac{\sin^4 x}{a}+\frac{\cos^4 x}{b})=\frac{1}{a+b}$
Elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos,
$\frac{\sin^8 x}{a^2}+\frac{\cos^8 x}{b^2}+2\frac{\sin^4 x \cos^4 x}{ab}=\frac{1}{(a+b)^2}$
$\frac{\sin^6 x}{a^2}+\frac{\cos^6 x}{b^2}-2\frac{\sin^4 x \cos^4 x}{ab}-\frac{\sin^6 x \cos^2 x}{a^2}-\frac{\sin^2 x \cos^6 x}{b^2}=\frac{1}{(a+b)^2}$
Así que, ahora, tenemos que demostrarlo,
$-2\frac{\sin^4 x \cos^4 x}{ab}-\frac{\sin^6 x \cos^2 x}{a^2}-\frac{\sin^2 x \cos^6 x}{b^2}=0$
No puedo hacer esto. Por favor, ayúdenme.

Answer 1

SUGERENCIA:

Utilice $$\cos^2x=1-\sin^2x$$ para formar una ecuación cuadrática en $\displaystyle\sin^2x$

escribir $\displaystyle\sin^2x=p$ obtenemos $$\frac{p^2}a+\frac{(1-p)^2}b=\frac1{a+b}$$

$$\implies b p^2+ a(1+p^2-2p)=\frac{ab}{a+b}$$ $$\implies (a+b)\{(a+b)p^2-2ap+a\}=ab$$

$$\implies (a+b)^2p^2-2a\cdot (a+b)p+a^2=0\implies \left[p(a+b)-a\right]^2\implies p=\frac a{a+b}$$

¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 2

La primera inclinación podría ser reducir las potencias invocando las Identidades de Medio Ángulo, que pueden escribirse como $$\sin^2 x = \frac{1}{2}( 1 - k ) \qquad \cos^2 x = \frac{1}{2}(1 + k) \qquad\text{, where}\qquad k := \cos 2x$$ Entonces, $$\begin{align} \frac{\sin^4 x}{a}+\frac{\cos^4 x}{b} = \frac{1}{a+b} \quad &\implies\quad \frac{(1-k)^2}{4a}+\frac{(1+k)^2}{4b}=\frac{1}{a+b} \\[4pt] &\implies\quad \big(\;k\;(a+b)+a-b\;\big)^2 = 0 \\[4pt] &\implies\quad k = -\frac{a-b}{a+b} \\[4pt] &\implies\quad \sin^2 x = \frac{a}{a+b} \quad\text{and}\quad \cos^2 x = \frac{b}{a+b} \end{align}$$

Por lo tanto, $$\frac{\sin^6 x}{a^2} + \frac{\cos^6 x}{b^2} = \frac{1}{a^2}\left(\frac{a}{a+b}\right)^3 + \frac{1}{b^2}\left(\frac{b}{a+b}\right)^3 = \frac{a+b}{(a+b)^3} = \frac{1}{(a+b)^2}$$

Answer 3

$\cos^4x=(\cos^2x)^2=(1-\sin^2x)^2=1+ \sin^4x-2\sin^2x$

Ahora, $\dfrac{\sin^4x}{a} +\dfrac{cos^4x}{b}=\dfrac{1}{a+b}$

$\Rightarrow \dfrac{\sin^4x}{a} + \dfrac{(1+\sin^4x-2\sin^2x)}{b} = \dfrac{1}{a+b}$

$\dfrac{[b\cdot\sin^4x + a(\sin^4x-2\sin^2x+1)]}{ab} = \dfrac{1}{a+b}$

$\Rightarrow \dfrac{[(a+b)\sin^4x-2a \sin^2x+a]}{ab} = \dfrac{1}{a+b}$

$\Rightarrow (a+b)^2 \sin^4x - 2a(a+b)\sin^2x + a(a+b) =ab$

$\Rightarrow (a+b)^2 \sin^4x - 2a(a+b)\sin^2x + a^2=0$

$\Rightarrow [(a+b)\sin^2x-a]^2 = 0$

$\Rightarrow (a+b)\sin^2x - a = 0$

$\Rightarrow \sin^2x=\dfrac{a}{(a+b)}$

Tomando el tercer poder en ambos lados

$\sin^6x=\dfrac{a^3}{(a+b)^3}$

Dividiendo por ambos lados por $a^2$

$\dfrac{\sin^6x}{a^2}=\dfrac{a}{(a+b)^3}$

Ahora, $\cos^2x=1 - \sin^2x=1-\dfrac{a}{(a+b)}=\dfrac{b}{(a+b)}$

$\Rightarrow \cos^2x=\dfrac{b}{(a+b)}$

Tomando la tercera potencia de ambos lados

$\cos^6x=\dfrac{b^3}{(a+b)^3}$

Dividiendo ambos lados por $b^2$ ,

$\dfrac{\cos^6x}{b^2} =\dfrac{b}{(a+b)^3}$

$\Rightarrow \dfrac{\sin^6x}{a^2} + \dfrac{\cos^6x}{b^2}=\dfrac{a}{(a+b)^3} + \dfrac{b}{(a+b)^3} =\dfrac{(a+b)}{(a+b)^3}=\dfrac{1}{(a+b)^2}$

Por lo tanto, se ha demostrado.

Answer 4

Primero elevamos al cuadrado ambos lados

$\dfrac{1}{(a+b)^2}=\dfrac{\sin^8x}{a^2}+2\dfrac{\sin^4x\cos^4x}{ab}+\dfrac{\cos^8x}{b^2}$

$=\dfrac{\sin^6x(1-\cos^2x)}{a^2}+2\dfrac{\sin^4x\cos^4x}{ab}+\dfrac{\cos^6x(1-\sin^2x)}{b^2}$

$=\dfrac{\sin^6x}{a^2}+\dfrac{\cos^6x}{b^2}-\dfrac{\sin^6x\cos ^2x}{a^2}-\dfrac{\cos^6x\sin^2x}{b^2}+2\dfrac{\sin^4x\cos^4x}{ab}$

es suficiente mostrar que los tres últimos términos son cero $=-\dfrac{\sin^6x\cos ^2x}{a^2}-\dfrac{\cos^6x\sin^2x}{b^2}+2\dfrac{\sin^4x\cos^4x}{ab}\\=-\sin ^2x\cos^2x(\dfrac{\sin^4x}{a^2}-\dfrac{2\sin^2 x\cos^2x}{ab}+\dfrac{\cos^4x}{b^2})$

$=-\sin ^2x\cos^2x(\dfrac{\sin^2x}{a}-\dfrac{\cos^2x}{b})^2$

Consideremos ahora el problema inicial sustituyendo $1=\cos^2x+\sin^2x$

llegamos a

$\dfrac{\sin^4 x}{a}+\dfrac{\cos^4 x}{b}=\dfrac{\sin^2x+\cos^2x}{a+b}$

$\dfrac{\sin^4x}{a}-\dfrac{\sin^2x}{a+b}+\dfrac{\cos^4x}{b}-\dfrac{\cos^2x} {a+b}=0$

$\dfrac{a\sin^4x+b\sin^4x-a\sin^2x}{a(a+b)}+\dfrac{b\cos^4x+a\cos^4x-b\cos^2x}{b(a+b)}=0$

factorizar $a\sin ^2x $ y $b\cos^2x$ para llegar a

$\dfrac{a\sin^2x(\sin^2x-1)+b\sin^4x}{a}+\dfrac{b\cos^2x(\cos^2x-1)+a\cos^4x}{b}=0$

$\sin^2x(-\cos^2x)+\dfrac{b}{a}\sin^4x+\cos^2x(-\sin^2x)+\dfrac{a}{b}\cos^4x=0\\ \dfrac{b}{a}\sin^4x-2\sin^2x(\cos^2x)+\dfrac{a}{b}\cos^4x=0$

dividir por $ab$ aquí suponemos $a,b\ne 0$

$\dfrac{1}{a^2}\sin^4x-\frac{2}{ab}\sin^2x(\cos^2x)+\dfrac{1}{b^2}\cos^4x=0$

$\dfrac{\sin^4x}{a^2}-\dfrac{2\sin^2 x\cos^2x}{ab}+\dfrac{\cos^4x}{b^2}=(\dfrac{\sin^2x}{a}-\dfrac{\cos^2x}{b})^2=0$

$a\ne -b$

$\fbox{}$

Answer 5

Mi solución:: Dado $$\displaystyle \frac{\sin^4 x}{a}+\frac{\cos^4 x}{b} = \frac{1}{a+b}.$$

Ahora usando el Desigualdad de Cauchy-Schwarz obtenemos

$$\displaystyle \frac{(\sin^2 x)^2}{a}+\frac{(\cos^2 x)}{b}\geq \frac{\left(\sin^2 x+\cos^2 x\right)^2}{a+b} = \frac{1}{a+b}$$

y la igualdad se mantiene cuando $$\displaystyle \frac{\sin^2 x}{a} = \frac{\cos^2 x}{b}.$$

Ahora, utilizando la razón y la proporción, obtenemos $$\displaystyle \frac{\sin^2 x}{a} = \frac{\cos^2 x}{b}=\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{a+b}=\frac{1}{a+b}.$$

Así que $$\displaystyle \sin^2 x = \frac{a}{a+b}$$ y $$\displaystyle \cos^2 x = \frac{b}{a+b}.$$ Así que obtenemos $$\displaystyle \frac{\sin^6 x}{a^2}+\frac{\cos^6 x}{b^2}=\frac{a^3}{a^2\cdot (a+b)^3}+\frac{b^3}{b^2\cdot (a+b)^3} = \frac{1}{(a+b)^2}$$