Demostrar que no existe $x,y\in[0,1]$ tal que $|u(x)-u(y)|<|x-y|^{1/2}$.

Question

Supongamos $u:[0,1]\to\mathbf R$ es una limitada función, muestran que no existe $x,y\in[0,1]$ tal que $|u(x)-u(y)|<|x-y|^{1/2}.$

Tengo algún estúpido ensayos, pero no pudo. Parece que podríamos argumentar a través de la contradicción.

Si para cada una de las $x,y\in[0,1]$ $x\neq y,$ no tiene $$|u(x)-u(y)|\geq|x-y|^{1/2}.$$ We denote by $R=\{u(x);\ x\in[0,1]\},$ then we can define a continuous function $v:R\to[0,1]$ such that $$v(u(x))=x\ \hbox{for all $x\in[0,1].$}$$ According to our assumption, we have $$|v(s)-v(t)|\leq|s-t|^2\ \hbox{for all $s,t\in R$}.$$ Let $\bar R$ be the closure of $R$ in $\mathbf R,$ then we can continuously extend the function $v:R\to[0,1]$ to $\bar v:\bar R\a[0,1].$ It is easy to check $\bar v:\bar R\a[0,1]$ is a continuous and closed map, and also a surjection. In additional, if we could prove that $\bar v:\bar R\a[0,1]$ is an injection, then $\bar v:\bar R\a[0,1]$ es un homeomorphism, una contradicción. Pero parece difícil comprobar este argumento.

Otra prueba. Si $U:[0,1]\to\mathbf R$ satisface $$|U(x)-U(y)|\leq|x-y|^2\ \hbox{for all $x,y\in[0,1]$,}$$ then actually $U$ is constant. According to this result, if there is some interval $[a,b]\subconjunto\bar R,$ then $\bar v|_{[a,b]}$ is constant. However, it seems impossible to show that $\bar R$ contains some interval, though the cardinal number of the set $R$ is $\aleph.$

Espero que alguien me podría dar alguna pista, y cualquier comentario será bienvenido. Muchas gracias!

Answer 1

Supongamos, sin pérdida de ese $u : [0,1] \to [0,R]$ y considere la gráfica de $u$ $[0,1]\times[0,R]$ . Tenga en cuenta que el área de la gran rectángulo $[0,1]\times[0,R]$$R$.

Deje $n$ ser un entero positivo. Para cada entero $0 \leq k \leq n$ cubrir el punto de $(k/n,u(k/n))$ con el rectángulo $[0,1]\times (u(k/n) + (-\frac{1}{2\sqrt{n}},\frac{1}{2\sqrt{n}}))$.

Si los rectángulos eran distintos, su unión cubren un área de más de $n\cdot \frac{1}{\sqrt{n}} = \sqrt{n}$, lo cual no es posible para $n > R^2$. Así, por $n > R^2$ encontramos dos puntos distintos $(k/n,u(k/n))$ $(l/n,u(l/n))$ rectángulos cuya superposición.

$$ |u(k/n) - u(l/n)| \leq \frac{1}{\sqrt{n}} \leq |k/n-l/n|^{1/2} $$

Answer 2

Vamos a demostrar el enunciado del problema por la contradicción. Supongamos que $\lvert u(x)-u(y)\rvert\geq \lvert x-y\rvert^{1/2}$ todos los $x, y\in [0, 1]$. A continuación, vamos a $x_n = \frac{6}{\pi^2}\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$, de modo que $\lim_{n\to \infty} x_n = 1$ (recordemos que $\zeta(2) := \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}$). Entonces, para todos $n\in \mathbb{N}$, $u(x_n)$ debe haber una distancia mínima de $r_n = \frac{\sqrt{6}}{\pi n}$ lejos de cualquier $u(x_m)$, $m\neq n$ (es decir,$B_{r_n}(u(x_n))\cap \{u(x_m)\}_{m=1}^{\infty} = \{u(x_n)\}$). A partir de esto, es fácil mostrar que $\{u(x_n)\}$ no puede estar acotada. En primer lugar, tomamos nota de un lexema:

Lema 1: no es $(n_1, n_2, n_3)\in \mathbb{N}^3$ tal que $B_{r_{n_1}}(u(x_{n_1}))\cap B_{r_{n_2}}(u(x_{n_2}))\cap B_{r_{n_3}}(u(x_{n_3}))\neq \emptyset$.

Prueba: Supongamos que hay un $y\in B_{r_{n_1}}(u(x_{n_1}))\cap B_{r_{n_2}}(u(x_{n_2}))\cap B_{r_{n_3}}(u(x_{n_3}))$. Entonces, debemos tener la $y$ es de menos de $u(x_{n_1})$, entre el$u(x_{n_1})$$u(x_{n_2})$, entre el$u(x_{n_2})$$u(x_{n_3})$, o mayor que $u(x_{n_3})$. Es fácil ver que en cada uno de estos casos, debemos tener $u(x_{n_i})\in B_{r_{n_j}}(u(x_{n_j}))$ para algunos $i, j\in \{1, 2, 3\}$, $i\neq j$.

Por lo tanto, $\{B_{r_n}(u(x_n))\}_{n=1}^{\infty}$ puede en la mayoría de los doblemente cubrir cualquier punto de $\mathbb{R}$. Esto implica que para cualquier $N\in \mathbb{N}$, $$m\left(\bigcup_{n=1}^N B_{r_n}(u(x_n))\right)\geq \frac{1}{2}\sum_{n=1}^N \frac{2\sqrt{6}}{\pi n} = \frac{\sqrt{6}}{\pi}\sum_{n=1}^N \frac{1}{n}$$ so therefore, $$m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} B_{r_n}(u(x_n))\right) = \lim_{N\to \infty} m\left(\bigcup_{n=1}^N B_{r_n}(u(x_n))\right) = \infty$$ which contradicts that $\{u(x_n)\}$ can be contained in a bounded interval $I$ of $\mathbb{R}$ (if it could, then $\bigcup_{n=1}^{\infty} B_{r_n}(u(x_n))$ would be contained in a set of measure at most $m(I)+\frac{2\sqrt{6}}{\pi}$, i.e. $I$ with "buffer zones" of radius $\frac{\sqrt{6}}{\pi}$ en cualquiera de los extremos).