Diferencial de la relación entre coordenadas Cartesianas y coordenadas polares. ¿Qué significa esto?

Question

No sé lo que es un sistema de coordenadas es, rigurosamente. (Pero sospecho que están relacionados con las bases de espacios vectoriales en algunas mapa, donde la base puede ser el estándar de la base y el mapa puede ser el mapa de identidad.)

En $\mathbb{R^2}$, "sé" que coordenadas Cartesianas $(x, y)$ y coordenadas polares $(r, \theta)$ están relacionados por las funciones:

• $r : (x,y) \mapsto \sqrt{x^2 + y^2}$
• $\theta : (x,y) \mapsto \arctan(y/x)$.

Ahora, Wikipedia dice que las coordenadas polares están relacionados con coordenadas Cartesianas a través de:

• $r = \sqrt{x^2 + y^2}$
• $\displaystyle d\theta = -{y\over r^2} dx\ +\ {x \over r^2}dy$.

En particular, $d\theta$ parece sospechosamente a un diferencial de $1$-forma, es decir,. un doble campo de vectores, es decir,. un suave sección de la doble tangente bundle $T^* \mathbb{R^2}$$\mathbb{R^2}$, es decir. un mapa que lleva a un punto de $(x,y)\in \mathbb{R^2}$ y salidas de un doble vector tangente $\displaystyle -{y\over x^2 + y^2} dx\ +\ {x \over x^2 + y^2}dy$, expresado en términos de la doble estándar $\{dx, dy\}$.

En términos de de Rham complejo de $\mathbb{R^2}$

$$\boldsymbol 0 \overset{d}{\longrightarrow} \Omega_0(\mathbb{R^2}) \overset{d}{\longrightarrow} \Omega_1(\mathbb{R^2}) \overset{d}{\longrightarrow} \Omega_2(\mathbb{R^2}) \overset{d}{\longrightarrow} \boldsymbol 0,$$

$d\theta$ parece ser un elemento del espacio vectorial $\Omega_1(\mathbb{R^2})$. También, $d\theta$ debe ser exacto , la imagen en $d$ $\theta$ (sé que esta última afirmación es equivocada, pero ¿por qué?).

¿Cómo es que esto de hablar de los vectores que se refiere a los sistemas de coordenadas? ¿Por qué la relación entre los sistemas de coordenadas de ser diferencial? Lo que hace este diferencial de relación significa, y cómo se relaciona a los indicados anteriormente? Si los sistemas de coordenadas pueden ser diferenciados, que significa que son los mapas?

(Por favor corregir la gran cantidad de errores técnicos, debe de haber hecho.)

Answer 1

Cuidado: el punto de $(0,0)$ es una singularidad de la transformación entre coordenadas rectangulares y polares. Sobre todo, usted debe reemplazar a $\Bbb R^2$ por $\Bbb R^2-\{(0,0)\}$ a estar en el lado seguro.

Los escolares amor la fórmula $\theta=\tan^{-1}(y/x)$ pero los matemáticos darse cuenta de que es válido para $x>0$, pero no $x<0$. La notación $d\theta$ es un abuso de notación. Realmente es un diferencial de $1$-forma en $\Bbb R^2-\{(0,0)\}$ , pero no es el exterior derivados de cualquier liso la función en ese conjunto. Es un cerrado $1$-forma, pero no exacta, y es un generador de $H^1_{\text{de Rham}}(\Bbb R^2-\{(0,0)\})$ (unidimensional).

Answer 2

Para responder a sus preguntas en orden, teniendo en cuenta un finito-dimensional espacio vectorial $V$, podemos utilizar los vectores de la base para determinar una representación coordinar la representación de $V$. Hay un isomorfismo natural entre el$V$, y sus coordenadas representación decir $[V]_{\mathcal{B}}$. A partir de aquí se construye un sistema de coordenadas que está a sólo un bijection de$[V]_{\mathcal{B}}$$\mathbb{E}^{\textbf{dim}(V)}$.

Si cambiamos nuestra atención en el verdadero objeto de estudio.e colectores, a continuación, $[V]_{\mathcal{B}}$ es sólo el espacio de la tangente en un punto de $p$. Cuando la definición de lo que significa para un mapa para ser suave entre colectores, nos dimos cuenta de que sería agradable si la suavidad era independiente de los gráficos, pero ¿cómo lo hacemos? Bien,

$$ f \circ \phi^{-1} = f \circ \psi^{-1} \circ (\psi \circ \phi^{-1})$$

Por lo tanto debemos exigir que $ \psi \circ \phi^{-1}$ es un diffeomorphism para cualquier $\phi, \psi$ con la superposición de dominios. Ahora sigue que $\psi \circ \phi^{-1}$ es un reparametrization. Ahora, dada $(U, \phi=x^1,...,x^n)$ $(V, \psi=y^1,...,y^m)$ cartas locales con la superposición de dominios, sabemos que $\frac{\partial}{\partial x^j}$ $\frac{\partial}{\partial y^k}$ por la base de la tangente espacios. Usted también sabe que determinado $\psi \circ \phi^{-1}: \phi(U) \to \psi(V)$ es un diffeomorphism, a continuación, $D(\psi \circ \phi^{-1}): T_{\phi(p)} \phi(U) \to T_{\psi(p)} \psi(V)$ es un isomorfismo.

En el primer párrafo, hemos hecho una identificación del espacio vectorial con las coordenadas de la representación. Observe que si dejamos $V = \mathbb{R}^n$, entonces la única distinción entre el $V, \mathbb{E}^n$ es que nos hemos equipado a la de coordinar la representación de $V$ con la topología inducida por la norma métrica euclidiana. En este caso, el mapa de $[\mathbb{R}^n]_{\mathcal{B}}$ $\mathbb{E}^n$sólo puede ser pensado como el mapa de identidad. Esta es la razón por la que decimos $\mathbb{R}^n$ puede ser visto como una $n$-colector sólo por el uso de $\phi=(x^1,...,x^n)$ donde $x^j(p_1,...,p_n) = p_j$ i.e $\phi(\textbf{p}) = \textbf{p}$ es la identidad.

Ahora veamos su ejemplo específico. La producción de nuevos sistemas de coordenadas sólo será una cuestión de pensar acerca de cómo parametrizar sub-colectores yo.e cada uno de los sub-maniold en el avión va a dar lugar a un sistema de coordenadas. Aquí tomamos círculos con centro en el origen. De esto podemos ver,

$$p = (x,y) \Rightarrow p = (r, \theta) : r = \sqrt{x^2+y^2}, \theta = \textbf{arctan} (y,x)$$

(el uso de esta definición arctan a través de la wiki) yo.e los mapas $\textbf{id}:= \phi=(x,y), \psi:=(r, \theta)$ tienen la superposición de dominios y de ello se sigue que,

$$(\phi \circ \psi^{-1})(r,\theta) = \phi(x,y) = (x,y)$$

$$( \psi \circ \phi^{-1})(x,y) = \psi(x,y) = (r, \theta)$$

yo.e la transición mapa es suave.

Por último, $\theta = \theta(x,y)$, por lo que su diferencial total $D\theta (p_0) = (\theta_x(p_0), \theta_y(p_0))^T$ i.e da $q$ lo suficientemente cerca de a $p_0:=(p_1,p_2)$ dice $q=(p_1+\Delta x/\Delta t,p_2+\Delta y/\Delta t)$$q - p_0 = (\Delta x/\Delta t, \Delta y/ \Delta t)$, por lo que para obtener el vector de a $p_0$ i.e la velocidad de algunos curva que pasa a través de $p_0$, dejamos $\Delta t \to 0$ i.e obtenemos el vector $(dx,dy)$ y, por tanto,

$$ D \theta (p_0) \begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix}_{p_0} = \theta_x(p_0) dx(p_0) + \theta_y(p_0) dy(p_0)$$

De nuevo, la razón para dividir a través de por $\Delta t$ es que la representación de la matriz para el diferencial también se puede lograr mediante la definición de $D f(p) \cdot \gamma'(0) = (f \circ \gamma)'(0) \cdot \gamma'(0)$ donde $\gamma$ es una curva que pasa a través de $p$. El diferencial de la relación es sólo mostrar cómo aproximar el cambio de dirección en la $\theta$ dado un cambio de $(x,y)$ en alguna dirección.