Notación de secuencias -- ¿Qué paréntesis utilizar?

Question

En este momento estoy enseñando secuencias. Siempre he puesto las secuencias entre paréntesis, por ejemplo $(1,2,3,4,5)$ es una secuencia cuyo primer miembro es $1$ cuyo segundo miembro es $2$ y así sucesivamente. También he utilizado siempre paréntesis para definir una secuencia de la siguiente manera: "Considera la secuencia $(a_n)$ donde $a_k = k^2+1$ para todos $k \ge 1$ ." Me gustaría saber si esto es de uso habitual.

En Wikipedia, se utiliza la notación $\{a_n\}$ para una secuencia. Pensaba que los "corchetes" se reservaban para conjuntos en los que el orden no era importante, por ejemplo, los conjuntos $\{1,2\}$ y $\{2,1\}$ son el mismo conjunto. Mientras que en una secuencia, el orden hace materia, por ejemplo $(1,2) \neq (2,1)$ . Al igual que los puntos del $xy$ -Diferencia de plano.

Para agravar aún más la situación, el texto del curso no utiliza ningún tipo de paréntesis. Por ejemplo, dicen "Encuentra el siguiente término de la secuencia geométrica $1, 2, 4, 8,\ldots$

Por supuesto, soy consciente de que podemos utilizar cualquier notación que elijamos, siempre que la definamos de antemano, pero me interesa conocer las preferencias de la gente y sus propias experiencias.

Answer 1

Yo uso $(a_n : n \in \mathbb{N})$ y supongo que $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ también estaría bien. Creo que $\langle a_n : n \in \mathbb{N}\rangle$ también es bueno, pero creo que $\langle a_n \rangle_{n \in \mathbb{N}}$ es bastante infrecuente. Estoy de acuerdo en que es mejor no usar llaves, excepto en contextos en los que realmente está bien olvidarse del orden.

Personalmente no me siento cómodo escribiendo sólo $(a_n)$ (dejando $n$ como variable libre) para una secuencia infinita; $a_n$ es un número, por lo que $(a_n)$ es sólo una secuencia de longitud uno.

Answer 2

Prefiero los corchetes: $\langle 1,2,4,8,\dots\rangle=\langle 2^k:k\in\Bbb N\rangle$ . Los paréntesis son una segunda opción lejana: ya tienen demasiado trabajo que hacer. Considero que las llaves rizadas son totalmente inapropiadas: $\{2^k:k\in\Bbb N\}$ es un conjunto de enteros, no una secuencia.

Answer 3

La mayoría de las veces utilizo paréntesis o llaves para denotar secuencias aunque con la modificación de que pongo un subíndice. Por ejemplo:

• Dejemos que $(a_n)_{n\geq 1}$ sea una secuencia de números reales.
• Dejemos que $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sea una secuencia de números reales.
• Dejemos que $(a_n)_{n\geq 1}$ sea la secuencia dada por $$ a_n=\frac1n,\quad n\geq 1. $$

Sin embargo, aprecio el punto señalado por Brian M. Scott en la otra respuesta.

Answer 4

Si necesito que quede claro, utilizo $n \mapsto x_n$ por ejemplo. Otras notaciones están bastante arraigadas, por lo que probablemente sea mejor que sus alumnos las aprendan.

Aunque es bastante descuidado, a veces escribo "la secuencia $x_n$ ...', al igual que algunas personas escriben 'la función $f(x)$ ..." (es decir, la función $f$ o $x \mapsto f(x)$ ).