La curva paramétrica de una pelota de tenis de costura

Question

Yo no había notado hasta ahora pelotas de tenis eran simétricas respecto a más de un eje. Que me llevan a pensar que podría ser una forma elegante de expresar la costura como una curva paramétrica, pero no he encontrado todavía.

He intentado usar productos de senos y cosenos, pero ninguno de ellos se aproxima a la curva y se está poniendo bastante feo.

Esta no es la tarea, por cierto.

Answer 1

Vamos a apuntar para una simple aproximación. Definir la curva de $r = r_0$, $\theta = (\pi/3)\sin 2\phi$.

OK, ¿qué es eso, y ¿cómo podemos conseguirlo?

Queremos una curva sobre la superficie de una esfera $r = r_0$. Queremos que la curva para ir hacia arriba y hacia abajo dos veces, ya que gira en torno a la $z$-eje. Queremos que la curva a ser simétrica en la que podríamos darle la vuelta, cambiar a mitad de camino alrededor, o espejo-reflejo y caben en sí mismo.

Sabemos que $f(\phi)=\sin 2\phi$ va hacia arriba y hacia abajo dos veces como $\phi$$-\pi$$+\pi$. Sabemos que $f(\phi)=\sin 2\phi$ tiene varias simetrías, tales como $f(\phi)=-f(-\phi)$, $f(\phi)=-f(\phi-\pi/2)$, $f(\phi)=f(\pi/2-\phi)$. Así que nos estamos acercando. Ahora queremos terminar con esto $f$ alrededor de una esfera de alguna manera. Una forma es, si nos imaginamos que la esfera tiene un ecuador como el ecuador de la Tierra y $f$ es proporcional a la elevación ángulo de $\theta$ por encima o por debajo de la línea del ecuador, como la latitud en la Tierra. Digamos que queremos $\phi$ a ser al máximo, dos tercios del camino hacia el "Polo Norte", y como mínimo, dos tercios del camino hacia el "Polo Sur". Esa es una sexta parte de la circunferencia de la esfera, que es un ángulo en radianes de $\pi/3$. Que será la proporción: $\theta = (\pi/3)f$.

Tenemos un plan. Para ser muy claro, es apropiado para explicar cómo nos relacionamos con el radio de $r$, el ángulo de elevación $\theta$, y el parámetro de $\phi$ $f$ (por tanto también de la $\theta$) a coordenadas Cartesianas.

En $xyz$-espacio, podemos definir coordenadas esféricas de la siguiente manera, que es una de las formas usuales:

Deje $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

• A continuación, $r(x_0,y_0,z_0)$ mide la distancia desde el punto de $(0,0,0)$ hasta el punto de $(x_0,y_0,z_0)$.

Deje $\phi = \arctan(y/x)$.

• A continuación, $\phi(x_0,y_0,z_0)$ mide el azimut ángulo $(1,0,z_0)$, $(0,0,z_0)$, $(x_0,y_0,z_0)$. Es como la medición de la longitud en la que estás de pie sobre la superficie de la Tierra. A partir de (literalmente) otro punto de vista, es como medir la dirección de la brújula en la que te enfrentas, si usted está de pie en la superficie de la Tierra (no en un poste).
  El número de $1$ es arbitrario. Si hemos de escribir cualquier otro número positivo en lugar de $1$, la medida del ángulo sería el mismo.
• Este es un ángulo en el plano donde $z=z_0$.
• El ángulo azimutal medidas cero al $x_0$ es positiva y $y_0=0$.
• Suponiendo que $x_0$ es positivo, el ángulo azimutal empieza a aumentar a medida $y_0$ comienza a aumentar a partir de $0$.

Deje $\theta = \arctan(z/r)$.

• A continuación, $\theta(x_0,y_0,z_0)$ mide la elevación ángulo de $(x_0,y_0,0)$, $(0,0,0)$, $(x_0,y_0,z_0)$.
• Este es un ángulo en el plano donde $(x,y)$ es en cualquier proporción $k$$(x_0,y_0)$, $(x,y)=k(x_0,y_0)$.
• El ángulo de elevación medidas cero al $z=0$.
• El ángulo de elevación empieza a aumentar a medida $z$ comienza a aumentar a partir de $0$.

Answer 2

Usted podría estar interesado en un artículo titulado "Generalizado de Béisbol de Curvas: Tres Simetrías y estás En!", publicado en Loci/JOMA. El artículo está disponible en línea en http://www.maa.org/publications/periodicals/loci/generalized-baseball-curves-three-symmetries-and-youre-in.

Nos fijamos en la clase de curvas esféricas que tienen las mismas simetrías como la curva que forma la costura de una pelota de béisbol. También algunas de las referencias en este artículo a tratar de su pregunta. Aunque no podemos responder directamente a su pregunta por la búsqueda de la explícita ecuaciones paramétricas de una pelota de béisbol de la curva, sí proponemos una curva (ver Figura 7 en el artículo) que se ajusta a la costura de la vida real de béisbol muy bien.