Encontrar la serie de Taylor de $f(z)=\frac{1}{z^2-1}$ $1<|z+2|<3$

Question

encontrar la serie de Taylor de $f(z)=\frac{1}{z^2-1}$$1<|z+2|<3$,

No importa lo que yo puedo llegar a la conclusión de esta serie no existe a menos que $|z+2|<1$ pero no entiendo por qué...

Puedo escribir $f(z)=\frac{1}{(z-1)(z+1)}$ y, a continuación, tratar de desarrollar la serie para cada factor por separado $f_1(z)=\frac{1}{(z+1)},f_2(z)=\frac{1}{(z-1)}$.

Tanto analítica en cualquier $1 \neq z \in \mathbb{C}$, por lo que debe ser analítico en el disco 1<|z+2|<3 desde $z_0=\pm1$ no está en el disco...

Así que el disco debe ser un Dominio apropiado para desarrollar una Serie de Taylor...

Pero cualquier serie que no convergen en ella...

Puede por favor alguien que me explique por qué es esto?

Answer 1

$$\frac1{z^2-1} = \frac12 \left (\frac1{z-1} - \frac1{z+1} \right ) = \frac12 \left (\frac1{z+2-3} - \frac1{z+2-1} \right )$$

$|z+2| \gt 1$ $|z+2| \lt 3$ implica que nos acercamos a las expansiones de los dos términos de manera diferente:

$$\frac1{z+2-3} = -\frac13 \frac1{1-\frac{z+2}{3}} = -\frac13 \sum_{k=0}^{\infty} \left (\frac{z+2}{3} \right )^k$$

$$\frac1{z+2-1} = \frac1{z+2} \frac1{1-\frac1{z+2}} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac1{(z+2)^k} $$

Combinar las expansiones y usted está allí.