Si hay inyectiva homomorphisms entre los dos grupos en ambas direcciones, son isomorfos?

Question

Si tengo dos grupos, $G$ $H$ y dos inyectiva homomorphisms $\phi:G \to H$$\psi: H \to G$, luego por el primer teorema de isomorfismo aplicado a $\phi$,$G \cong \mathrm{Im} (\phi)$, un subgrupo de $H$. Del mismo modo, $H$ es isomorfo a un subgrupo de $G$. Para grupos finitos, esto garantiza que el $G \cong H$ pero no esta infinito grupos?

Cosas extrañas pueden suceder por infinito grupos, e.g $n\mathbb Z \subsetneq \mathbb Z$ pero $n \mathbb Z \cong \mathbb Z$. Me pregunto si este tipo de cosas deja un isomorfismo de que se produzcan.

Creo que esta pregunta se generaliza a los anillos, módulos, ámbitos y así sucesivamente. Este puede ser contestada por todas estas estructuras?

Answer 1

Para los grupos de esta propiedad - a veces llamado el Cantor-Schröder-Bernstein de la propiedad después de la corrensponding teorema de la llanura de conjuntos - que está mal. Deje $G = F_2$ libre grupo en dos generadores $\{a,b\}$ $H = F_3$ libre grupo de tres generadores $x,y,z$. Luego hay monomorphisms $f \colon G \to H$, dado por $f(a) = x$, $f(b) = y$ y $g \colon H \to G$ dada por $g(x) = a^2$, $g(y) = b^2$, $g(z) = ab$, no hay isomorfismo.

Answer 2

No. Cualquier contraejemplo debe ser infinito, y una manera de construir un ejemplo de ello es la construcción de un análogo de la conocida inyectiva homomorphism $S_n \hookrightarrow A_{n + 2}$ por el infinito análogos de los grupos.

Considerar el grupo $S_{\infty}$ (finito) de permutaciones de un conjunto $\{1, 2, \ldots\}$ de countably muchos elementos. A continuación, vamos a $A_{\infty}$ denotar el subgrupo de $S_{\infty}$ compuesto de incluso los elementos (productos de números de permutaciones), o, equivalentemente, el subgrupo generado por a $3$-ciclos. Entonces, la inclusión de $A_{\infty} \to S_{\infty}$ es un homomorphism.

Por otro lado, vamos a $S_{\infty}'$ denotar el subgrupo de $S_{\infty}$ de las permutaciones del conjunto $\{3, 4, \ldots\}$, y considerar el mapa de $\Phi: S_{\infty} \to S_{\infty}'$ que se asigna una permutación $(a_1 \cdots a_n)$ $((a_1 + 2) \cdots (a_n + 2))$(esto equivale a reetiquetar y así es manifiestamente un isomorfismo). Entonces, podemos definir un mapa de $\Psi: S_{\infty}' \to A_{\infty}$ por $$\Psi(\sigma) := \left\{ \begin{array}{cc} \sigma , & \sigma \text{ even} \\ \sigma (12), & \sigma \text{ odd} \end{array} \right. $$ y ver fácilmente que es una inyectiva homomorphism. Por eso, $\Psi \circ \Phi$ es un inyectiva homomorphism $S_{\infty} \to A_{\infty}$, y por lo tanto tenemos inyectiva homomorphisms en ambas direcciones, pero los dos grupos no isomorfos.

Answer 3

Creo que esta pregunta se generaliza a los anillos, módulos, ámbitos y así sucesivamente. Este puede ser contestada por todas estas estructuras?

La respuesta es no para los anillos y campos. No debe ser ninguna de módulos, pero estoy teniendo problemas para venir para arriba con un ágil contraejemplo la parte superior de mi cabeza.

Anillos: Vamos a $k$ ser un campo, por simplicidad. El anillo de $k[t^2, t^3]$ inyecta, por construcción, en el anillo de $k[t]$. El anillo de $k[t]$ también se inyecta en $k[t^2, t^3]$ a través del mapa de $t \mapsto t^2$. Así que hay inyecciones

$$k[t] \hookrightarrow k[t^2, t^3] \hookrightarrow k[t]$$

pero estos dos anillos no son isomorfos porque, por ejemplo, $k[t]$ es integralmente cerrado y $k[t^2, t^3]$ no lo es.

Campos: El campo de $\mathbb{C}$ inyecta en el campo de $\mathbb{C}(t)$, y por lo tanto inyecta en su clausura algebraica $\overline{ \mathbb{C}(t) }$. Ahora, la diversión teorema: (Edit: incontables) algebraicamente cerrado campos de la característica $0$ está totalmente determinado por su cardinalidad, $\overline{ \mathbb{C}(t) }$ tiene la misma cardinalidad como $\mathbb{C}$. Por lo que son isomorfos. Así que hay inyecciones

$$\mathbb{C} \hookrightarrow \mathbb{C}(t) \hookrightarrow \mathbb{C}$$

pero estos dos campos no son isomorfos porque $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado y $\mathbb{C}(t)$ no lo es.

Answer 4

Un no constructiva ejemplo: hay inyectiva homomorphisms $$(\mathbb R,+)\to(\mathbb R\times\mathbb Z,+)\to(\mathbb R\times\mathbb R,+)\cong(\mathbb R,+)$$ but $(\mathbb R,+)\no\cong(\mathbb R\times\mathbb Z,+).$