La desigualdad de funciones continuas con la integral

Question

Digamos que M es un número real positivo.Deje $f:[0,\infty)\to[0,M] $ ser una función continua la satisfacción de $$ \int\limits_{0}^\infty (1+x)f(x)dx<\infty.$$ Probar el siguiente inequlity. $$\left( \int\limits_{0}^\infty f(x)dx \right)^2\le 4M\int\limits_{0}^\infty xf(x)dx.$$

Answer 1

Tu propuesta en los comentarios está cerca. Intente esto: $$ \frac{d}{dt} \left( \int_0^t f(x) dx \right)^2 = 2 \left( \int_0^t f(x) dx \right) \frac{d}{dt} \int_0^t f(x) dx = 2 f(t) \int_0^t f(x) dx \\ \le 2 f(t) \int_0^t M dx = 2 M t f(t). $$ Ahora se integran de$t=0$$t=T$: $$ \left( \int_0^T f(x) dx \right)^2 \le \int_0^T 2 M tf(t) dt $$ y, a continuación, enviar a $T \to \infty$ para obtener $$ \left( \int_0^\infty f(x) dx \right)^2 \le \int_0^\infty 2 M xf(x) dx. $$