Encontrar todos los 4x4 de Una de las matrices, de manera que $A^4=A^6$

Question

Encontrar todos los 4x4 de Una de las matrices, de manera que $A^4=A^6$.

Creo que el método tiene que ver algo con valores propios, vectores propios, etc...

Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

Sugerencia :

Ha $A^4=A^6$ es decir, $A$ satisface polinomio $x^6-x^4$.

Pero $A$ $4\times 4$ de la matriz por lo que su polinomio Mínimo debe dividir $x^6-x^4$.

¿Cuáles son todos los polinomios que se dividen $x^6-x^4$?

Answer 2

Sugerencia:

Podemos escribir $A^6 - A^4 = 0$, es decir, que la $A$ "satisface" el polinomio $x^6 - x^4 = 0$. Entonces sabemos (por un teorema que es, probablemente, en su libro de texto) que el polinomio mínimo de a $A$ divide $x^6 - x^4 = x^4(x-1)(x+1)$.

¿Qué nos dice esto acerca de la Jordania-la forma canónica de $A$?

La conexión entre un mínimo de polinomios y J-C:

• $q_A(x) = (x-\lambda_1)^{m_1}\cdots(x-\lambda_k)^{m_k}$ donde $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ son los autovalores de a $A$, e $m_k$ es la longitud de la más larga bloque de Jordan asociada con $\lambda_k$.
• $m_k \geq 1$ para cada autovalor de $A$. $A$ es diagonalizable si y sólo si $m_k=1$ todos los $k$.