Producto interior y Espacios Mínimos de Polinomios

Question

Problema

Deje $V$ ser el espacio vectorial real de los polinomios de $\mathbb{R}[x]$ dotado del producto interior

$$ (f,g)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|x|}f(x)g(x)dx $$

Considerando la serie de subespacios $\{V_n\}$ donde $V_n=\{f(x) \in \mathbb{R}[X]: \deg(f) \leq n\}$ o de lo contrario, demuestran que existen único monic polinomios $\varphi_n(x)$ $n \geq 0$ tal que

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|x|}\varphi_n(x)g(x)dx=0$$ siempre deg $g<n$, y encontrar$\varphi_n(x)$$n=0,1,2$.

El progreso

Nos identifique $(V_n)^{\perp}$ por cada $n$, es decir,

$$(V_n)^{\perp}=\{f(x) \in \mathbb{R}[X]: \langle f,g \rangle=0 \text{ for all } g \in V_n\}$$

Si podemos mostrar esta tiene dimensión $1$, entonces podemos demostrar la existencia de un único monic polinomio. Alguna idea sobre cómo se hace (o un método alternativo para el problema), sería muy apreciado. Saludos.

Answer 1

Este problema debe recordar que de Gram-Schmidt, pero si usted está interesado en mostrar sólo de la existencia y unicidad) de la $\varphi_n$, y no se interesa en la fórmula final, entonces uno puede dejar de corto de todos los cálculos. Dicho esto, os recomiendo que no son tan perezoso como yo, los cálculos podría terminar iluminando. :)

Todo lo que uno necesita entender es el resumen de la operación de proyección ortogonal. Considere la posibilidad de un espacio vectorial $V$ y un finito dimensionales subespacio $E \subseteq V$. Entonces la proyección ortogonal de a $v$ a $E$ es el único vector de $w \in E$ tal que $v - w \perp E$. Es un estándar de hecho de que esa proyección siempre existe y es único; vamos a denotar esta $\operatorname{Proj}(v, E)$.

Si usted sabe de este hecho (o dar por sentado), entonces, este problema es fácil: $$ \varphi_n(x) = x^n - \operatorname{Value}(x^n, V_{n-1}) $$ es el único monic polinomio de grado $n$ tal que $(\varphi_n, g) = 0$ todos los $g \in V_{n-1}$. (Tenga en cuenta que la proyección, siendo en $V_{n-1}$, es un polinomio de grado $n-1$.) Ahora, es muy diferente de cómo evaluar la proyección plazo. No viene a ser una bonita expresión, y por otra parte, no está del todo claro para mí que se pretende aquí.

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Para completar el cuadro, también vamos a ver por qué la proyección, como se define siempre existe y es único.

La singularidad. Supongamos que no existe $w_1, w_2 \in E$ tal que $v - w_1 \perp E$$v - w_2 \perp E$. A continuación, $w_1 - w_2 = (v - w_2) - (v- w_1)$ también es ortogonal a $E$. En particular, desde la $w_1 - w_2$ es $E$, es ortogonal a sí mismo; es decir, $w_1 - w_2 = 0$. Por lo tanto la proyección -- cuando existe, es único.

Existencia. Desde $E$ es un finito dimensionales real* producto interior espacio vectorial, posee una base ortonormales. Deje $u_1, u_2, \ldots, u_r$ ser una base ortonormales, donde $r = \dim E$. Luego de la proyección de un vector dado, simplemente puede ser escrito como: $$ w = \operatorname{Value}(v, E) := \sum_{i=1}^r (v, u_i) u_i. $$ Es fácil ver que $v-w$ es ortogonal a cada base de vectores $u_i$, y por lo tanto es ortogonal a todo el subespacio $E$.

Por supuesto que si, en una concreta configuración, queremos encontrar la proyección, se debe calcular una base ortonormales para $E$. Esto generalmente se hace uso de las bacterias Gram-Schmidt proceso, como se mencionó en los comentarios.

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*Asumo una base real de campo; el complejo caso no es muy diferente.