Si $a^{2}+84a+2008=b^{2}$ qué es $a+b$

Question

Dejar $a, b$ son dos enteros positivos que satisfacen la condición $a^{2}+84a+2008=b^{2}$ . Descubra $a+b$
Mi solución
$a^{2}+84a+2008=b^{2} \implies (a+42)^{2}+244=b^{2} \implies (b+a+42)(b-a-42)=2^{2}61$ . Considerando (244,1) , (122,2) ,(61,4) observamos que sólo (244,1) dan enteros $(a,b)=(18,62) \implies a+b=80$
Mi pregunta
¿Hay alguna otra forma de resolver este problema?

Answer 1

Con la fórmula cuadrática se obtiene

$$a=\frac{-84\pm \sqrt{84^2-4(2008-b^2)}}{2}=-42\pm \sqrt{b^2-244}$$

Ahora con esto, es posible obtener la raíz ya que $b^2-244=x^2$ y como $b$ y $a$ deben ser enteros positivos, esa raíz también debe serlo, por lo que necesariamente $x$ también. Esto permite

$$(b+x)(b-x)=244$$

Y eso implica que:

$$b+x=244\ \ \ \ \ \ \ \ \ b-x=1 \ \ \Rightarrow \ \ 2b=245 \mbox{ not integer}$$ $$b+x=122\ \ \ \ \ \ \ \ \ b-x=2 \ \ \Rightarrow \ \ 2b=124 \Rightarrow b=62$$ $$b+x=61\ \ \ \ \ \ \ \ \ b-x=4 \ \ \Rightarrow \ \ 2b=65 \mbox{ not integer}$$ $$b+x=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ b-x=244 \ \ \Rightarrow \ \ 2b=245 \mbox{ not integer}$$

Desde $b>0$ Esto permite que $b=62$ Así que $a=-42\pm 2(62)$ pero sólo es posible $a=-42+124=18$ Así que $a=18$ y $a+b=80$ .