Restricción de forma diferencial a una subvariedad isotrópico

Question

Desde el Análisis y el Álgebra en la Diferenciable Colectores, primera edición, ejercicio 2.6.4., pregunta 1 (ligeramente editado para este post):

Deje $\vartheta$ ser canónica de la 1-forma en la cotangente del paquete de $T^* M$ a través de una $C^\infty$ n-manifold $M$. Demostrar que $d\vartheta$ es una 2-forma $\Omega$ $T^* M$ de manera tal que la vertical del haz de la natural proyección de $p:T^*M\rightarrow M$ es un Lagrangiano de la foliación; es decir, las fibras de $p$ son totalmente isotrópica submanifolds.

De ejercicios anteriores el sistema de coordenadas en $T^*M$ es de la forma $(q^1,..,q^n,p_1,...,p_n)$, y para demostrar la afirmación, los autores utilizan las coordenadas de la expresión de $\Omega=dp_i\wedge dq^i$ y tenga en cuenta que el espacio de la tangente a las fibras de $p$ es localmente distribuido por $\frac{\partial}{\partial p_i}$.

Así que mis preguntas son:

1. Cómo es $\Omega$ definido en la submanifold ? Está restringido de alguna manera específica, y cuál sería la expresión coordinada de esta restricción ?
2. Si no, hay un significado para la expresión $\frac{\partial}{\partial q^i}$ en las fibras como submanifolds ? Porque en un determinado fibra, todos los $q^i$ son constantes, por lo que no se puede aplicar la derivados a lo largo de $q^i$ a funciones definidas en los submanifolds. Y, en última instancia, esto me daría el significado de $dq^i$, y de cómo aplicar para demostrar la no degenerada de la naturaleza de la $\Omega$ de las fibras.

Answer 1

Esta respuesta es bastante detallado. Espero no abusar de él.

1. Sí, $\Omega$ obtiene restringido. Supongamos $x\in T^*M$ es algún punto en la cotangente del paquete y escribir $F$ para la fibra que contiene $x$. Entonces nuestro trabajo es definir la restricción de $\Omega$$F$, lo que vamos a por la claridad de la llamada $\Omega'$. Si $v,w\in T_xF$ son dos vectores tangente a la fibra, entonces debemos encontrar una fórmula para definir $\Omega'(v,w)$. Tenga en cuenta que $v,w$ también puede considerarse como elementos de $T_x(T^*M)$ (se identifican con sus pushforward en virtud de la inclusión del mapa de $F$ a $T^*M$, si lo desea). Esto significa que sólo podemos establecer $$ \Omega'(v,w) = \Omega(v,w) ,$$ cual es la razón por la $\Omega'$ es normalmente llamado $\Omega$.

   Coordinar la expresión. En la fibra, $F$ tenemos las coordenadas de $p_i$ (sin coordenadas $q^i$ más en la fibra). Para encontrar una expresión para la versión restringida $\Omega'$ $\Omega$ en estas coordenadas, basta calcular los valores $$ \Omega'\left( \frac{\partial}{\partial p_i}, \frac{\partial}{\partial p_j} \right) $$ para todos los $i$ $j$ (en realidad, el cálculo de estos para $i<j$ es suficiente por antisymmetry). Para calcular estos, tenga en cuenta que $\frac{\partial}{\partial p_i}$ como un vector tangente a la fibra, que corresponde a $\frac{\partial}{\partial p_i}$ como un vector tangente a $T^*M$. Esto nos da $$ \Omega'\left( \frac{\partial}{\partial p_i}, \frac{\partial}{\partial p_j} \right) = \Omega\left( \frac{\partial}{\partial p_i}, \frac{\partial}{\partial p_j} \right) = 0 .$$ En esta ecuación, los argumentos a $\Omega'$ deben ser consideradas como vectores tangente a $F$, mientras que los argumentos a $\Omega$ deben ser consideradas como vectores tangente a $T^*M$. Hemos demostrado que $\Omega'=0$ porque vuelve $0$ para cualquier par de vectores de la base. De hecho, demostrando que $\Omega'=0$ es exactamente mostrando que $F$ es isotrópica.

2. Hasta donde yo soy consciente, $\frac{\partial}{\partial q^i}$ no tiene un significado en las fibras como submanifolds. Nota, sin embargo, que el $dq^i$ definitivamente no tienen un significado en las fibras como submanifolds (aunque este significado resulta ser cero). De hecho, hay dos formas equivalentes de dar sentido a $dq^i$.

   El primer enfoque. Podemos usar el mismo procedimiento que hemos utilizado para $\Omega$ y restringir $dq^i$ a una 1-forma en la fibra,$F$. En otras palabras, aquí es como la 1-forma de trabajo: dado un vector de $v$ tangente a $F$, se puede considerar como un vector tangente a $T^*M$ y luego alimentar a la original $dq^i$ (una 1-forma en $T^*M$) para producir un número.

   El segundo enfoque. Podemos considerar $q^i$ como una función suave de la fibra, $F$ (por la restricción) y, a continuación, calcular la diferencial de $dq^i$ (estrictamente hablando,$d({q^i}_{\mid F})$) que es una 1-forma en $F$.

   La equivalencia de los dos enfoques Para mostrar que los dos enfoques son equivalentes, vamos a hacer la siguiente observación: si $f$ es una función suave en $M$ $N$ es un submanifold de $M$, la 1-forma en $N$ obtenido por la diferenciación $f_{\mid N}$ es igual a la restricción de $df$$N$. En efecto, supongamos $v$ es un vector tangente a $N$. Tomar una curva suave $\gamma$ $N$ a que la velocidad de la $v$ tiempo $t=0$. Las dos formas son iguales porque los dos tienen el valor $$ \frac{d}{dt}_{\mid t=0}\left( f(\gamma(t)) \right) $$ en $v$ (verifique esto como un ejercicio).

   El caso en cuestión. Me afirmó que en su pregunta, $dq^i$ es en realidad sólo el 1 formulario a -$0$. De hecho, $q^i$ es constante en $F$ (por la definición de la fibra), de modo que su diferencial es cero.