Flujo de constante campo de vectores en $\mathbb{S}^n$ (Jost: Ejercicio 1.16)

Question

Este es un problema que viene de Jost de la Geometría de Riemann y Geométricas de Análisis (Capítulo 1, Ejercicio 16).

Consideramos que la constante campo de vectores $X(x)=a$ todos los $x\in\mathbb{R}^{n+1}$. Obtenemos un campo de vectores $\tilde{X}(x)$ $\mathbb{S}^n$ proyectando $X(x)$ a $T_x\mathbb{S}^n$$x\in\mathbb{S}^n$. Determinar el correspondiente flujo en $\mathbb{S}^n$.

He estado atrapado en esto por un tiempo, y no han sido exactamente seguros de lo que intente. Este es el trabajo parcial que tengo hasta ahora:

Deje $\mathbf{1}_{n+1}$ $(n+1)\times(n+1)$ matriz identidad. Tenga en cuenta que la proyección sobre el espacio de la tangente $T_x\mathbb{S}^n$ es simplemente dada por $$P_x:=\mathbf{1}_{n+1}-xx^\top:\mathbb{R}^{n+1}\to T_x\mathbb{S}^n.$$ Ahora vemos que $$\tilde{X}(x)=P_x(X(x))=P_x(a)=(\mathbf{1}_{n+1} - xx^\top)a = a - xx^\top a = a - \langle{a,x}\rangle x\in T_x\mathbb{S}^n.$$ Así que para cualquier $p\in\mathbb{S}^n$ estamos buscando una solución a la siguiente ODA $$\begin{cases}\dot\gamma(t)=\tilde{X}(\gamma(t))=a-\langle{a,\gamma(t)}\rangle\gamma(t),\\\gamma(0)=p.\end{cases}$$ Tenemos dos punto fijo soluciones dadas por $\gamma_{\pm}(t)=\pm\frac{a}{\|a\|}.$ estoy bastante seguro (aunque no he demostrado que esto todavía) de que si empezamos desde cualquier punto de que no es un punto fijo que el flujo tenderá a $\frac{a}{\|a\|}$.

Al principio pensé que el flujo podría estar relacionado con la proyección del flujo de $X$$\mathbb{R}^{n+1}$, es decir que tomen $\Gamma:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{n+1}$$\Gamma(t)=p + ta$, y luego ver si $\gamma(t):=\frac{\Gamma(t)}{\|\Gamma(t)\|}$ resuelve la educación a distancia. Por desgracia, no resuelve en $\mathbb{S}^1\subseteq\mathbb{R}^2$ (a pesar de un reajuste de parámetros probablemente haría el truco en este caso desde $\mathbb{S}^1$ $1$- dimensional y la dirección del flujo parece ser correcta), y en cualquiera de las dimensiones superiores no incluso el flujo en la dirección correcta. Así que estoy bastante seguro de que esta idea es incorrecta, y yo no era capaz de conseguir que funcione en todos.

La segunda idea que yo tenía era la de considerar la geodésica de partida en $p$ y en la dirección $\dot\gamma(0)=a-\langle{a,p}\rangle p\in T_p\mathbb{S}^n$, y tal vez volver a parametrizar caso de que sea necesario. Desafortunadamente, esto también no trabajo y no he sido capaz de averiguar si el reajuste de parámetros idea de que trabajo aquí.

Aparte de eso, he sido muy atascado y no estoy seguro de si voy a ser capaz de simplemente ser capaz de resolver este ODE directamente o si hay algún insight geométrico que puedo usar para determinar este flujo. Cualquier sugerencias y explicaciones sería muy apreciada! He estado trabajando en esto por un largo tiempo, y esta es la única pregunta a la que en este capítulo no he sido capaz de averiguar.

Answer 1

En primer lugar, elija coordenadas cartesianas $(x_0,x_1,...,x_n)$ $\mathbb{R}^{n+1}$ tal que $\vec{a} = (a,0,0,...,0)$, $a\in \mathbb{R}$, y de tal manera que $\mathbb{S}^n$ está dado por $\sum_{k=0}^n x_k^2 = 1$. Luego, por la simetría argumento (es decir, un eventual rotación alrededor de la $\vec{a}$ eje), todo lo que tienes que hacer es resolver la ecuación EDO : $$\frac{d \gamma_0(t)}{d t} = a - a \gamma_0^2(t)$$ $$\frac{d \gamma_1(t)}{d t} = -a\gamma_0(t)\gamma_1(t)$$ on the half-circle $\{(x_0,x_1,0,0,...,0)|x_0^2 + x_1^2 = 1, x_1, \geq 0\}$. Usted puede resolver la primera ecuación. A continuación, puede resolver el segundo uso de la solución de la primera. Ahora tome la solución en el medio círculo y actuar sobre él con un $O(n)$ grupo de acción de la preservación de la $\vec{a}$-eje y enviar el ecuador $\mathbb{S}^{n-1}$ $\mathbb{S}^n$ a sí mismo. Ahora usted tiene todas las curvas integrales que estabas buscando (lo que implica entonces el flujo).