Deje $\mathcal{C}$ ser un distributiva categoría (con finito y productos finitos de co-productos) y deje $R$ ser un objeto de $\mathcal{C}$ tal que para cualquier objeto $A$ $\mathcal{C}$ la exponencial $R^A$ existe en $\mathcal{C}$. Deje $\partial_A:A\to R^{R^A}$ ser el de morfismos obtenidos por alarmada la evaluación de morfismos de$A\times R^A$$R$. Es $\partial_A$ monic? Hay algunas suposiciones acerca de $R$, lo que haría $\partial_A$ un monomorphism?
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Andreas Blass
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$\partial_A$ no es siempre monic. Deje $\mathcal C$ ser la categoría de conjuntos y deje $R$ ser un elemento del conjunto. A continuación, $R^A$ existe y es un elemento del conjunto de todos los $A$, lo $\partial_A$ no se monic al $A$ tiene 2 o más elementos.
Yo no ver inmediatamente agradable condiciones para hacer de $\partial_A$ monic, aunque en la categoría de conjuntos bastaría con exigir $R$ tener al menos dos elementos. Intuitivamente, desea que los distintos puntos en $A$ pueden ser separados por los mapas de a $R$.
Michal R. Przybylek
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No es su condición equivalente a decir que el $R$ es un cogenerator?
[Hice esta edición hace algún tiempo, pero como veo que se ha perdido en el proceso de revisión (qué triste!)]
No, no es equivalente a "$R$ es un cogenerator" --- sin embargo es claramente equivalente a "$R$ es una interna de cogenerator" (la prueba es que a lo largo de la misma línea como se indica a continuación). Cuando un interno cogenerator es un objeto $R$ de manera tal que el functor $\hom(-, R) \colon \mathbb{C}^{op} \rightarrow \mathbb{C}$ es fiel.
La categoría (un topos de Grothendieck) de nominal fija sirve como contraejemplo. En esta categoría el subobjeto clasificador es una de dos elementos del conjunto con un trivial de acción. Es fácil comprobar que no puede ser un cogenerator. Sin embargo se trata de un interno de cogenerator.
En realidad, la dirección más interesante para usted es fácil de probar, incluso en el más general de la configuración \begin{align} \left(f\circ g\right)^{[n]}(x)&=\sum_{P\in\mathcal{P}_n}f^{[\left\lvert P\right\rvert]}(g(x))g^{[P]}(x)\\ &=\sum_{P\in\mathcal{P}_n}f^{[\left\lvert P\right\rvert]}(\sin(x))\sin^{[P]}(x)\\ &=\sum_{P\in\mathcal{P}_n}\binom{k}{\left\lvert P\right\rvert}\sin^{k-\left\lvert P\right\rvert}(x)\sin^{[P]}(x)\\ \end si una categoría monoidal tiene muchos arañazos lineal exponentes, y $R$ es un cogenerator, luego de la canónica $\overline{\epsilon} \colon A \rightarrow ((A \multimap R) \multimap R)$ es un monomorphism. Para asumamos que hay morfismos $a, b \colon X \rightarrow A$. Por la definición de la exponente $((A \multimap R) \multimap R)$, $\overline{\epsilon} \circ a$ y $\overline{\epsilon} \circ b$ están en un bijective correspondencia con morfismos: $$X \otimes (A \multimap R) \overset{a, b \otimes \mathit{id}}\rightarrow A \otimes (A \multimap R) \overset\epsilon\rightarrow R$$ Si $a \not= b$, entonces, por definición de un cogenerator $R$ existe $\phi \colon A \rightarrow R$ distinguir estos morfismos, es decir,$\phi \circ a \not= \phi \circ b$. Además, en virtud de la transposición $\phi$ corresponde a la interiorizado elemento lineal $|\phi| \colon I \rightarrow (A \multimap R)$ satisfacción $\epsilon \circ (\mathit{id} \otimes |\phi|) = \phi$. Así que si nos precomponer el diagrama de arriba con $$X \approx X \otimes I \overset{\mathit{id} \otimes |\phi|}\rightarrow X \otimes (A \multimap R)$$ entonces, tenemos $\phi \circ a, \phi \circ b \colon A \rightarrow R$. Desde las precomposiciones $\phi \circ a \not= \phi \circ b$,$\epsilon \circ (a \otimes \mathit{id}) \not= \epsilon \circ (b \otimes \mathit{id})$, y en el bijective correpondence $\overline{\epsilon} \circ a \not= \overline{\epsilon} \circ b$.
La otra dirección, debe ser cierto (en cualquier cerrada categoría exponentes tienen "suficiente" de puntos), pero no veo ninguna prueba simple. Tal vez estoy con vistas a algo que es obvio.
