Funciones continuas son de Riemann-Stieltjes integrable con respecto a una función monótona

Question

Deje $g:[a,b] \to \mathbb{R}$ ser una monotonía de la función. Podría usted ayudarme a demostrar que $\mathcal{C}([a,b])\subseteq\mathcal{R}([a,b],g)$?

(Aquí se $\mathcal{R}([a,b],g)$ es el conjunto de todas las funciones que son de Riemann-Stieltjes integrable con respecto a $g$.)

Definición de Riemann-Stieltjes integral. Supongamos $f,g$ están delimitadas en $[a,b]$. Si hay un $A \in \mathbb{R}$ tal que para cada a $\varepsilon >0$, existe una partición de $\mathcal{P}$ $[a,b]$ tal que para cada refinamiento $\mathcal{Q}$ $\mathcal{P}$ tenemos $|I(f,\mathcal{Q},X,g)-A|<\varepsilon$ (donde si $\mathcal{P}=\{a=x_0<\ldots<x_n=b\}$ $X$ es una evaluación de la secuencia de $X=\{x_1^\prime,\ldots,x_n^\prime\}$$I(f,\mathcal{Q},X,g)=\sum_{j=1}^n f(x_j^\prime)(g(x_j)-g(x_{j-1}))$), $f$ es R-S integrable con respecto a $g$, y la integral es $A$.

Answer 1

Suponga que $g$ es cada vez mayor. Supongo que sabes que $f\in\mathcal{R}([a,b],g)$ fib $f$ satisface la definición de la integral de la condición. La definición de la integral de la condición dice:

$f$ satisface la definición de la integral de la condición de respeto a $g$ $[a,b]$ si para cada a $\epsilon\gt 0$, existe una partición de $P_\epsilon$ $[a,b]$ que si $P$ es un refinamiento de la $P_\epsilon$ $$0\leq U(P,f,g)-L(P,f,g)\lt \epsilon,$$ donde $U(P,f,g)$ $L(P,f,g)$ son de la parte superior e inferior de Riemann-Stieltjes sumas respectivamente.

Con esto y la sugerencia en los comentarios el resultado se mantiene.

Quizás el capítulo 7 de Análisis Matemático de Tom M. Apostol puede ser útil para usted.