Pregunta en la página 339 de Shirjaeva la Probabilidad

Question

Supongamos que para cada una de las $n\geq1$ hay una secuencia de variables aleatorias independientes $$\xi_{n1},\xi_{n2},\ldots,\xi_{nn}$$ con $E\xi_{nk}=0$, $V\xi_{nk}=\sigma_{nk}^2$, $\sum_{k=1}^n\sigma_{nk}^2=1$. Deje $S_n=\xi_{n1}+\ldots+\xi_{nn},$ $$F_{nk}(x)=P\{\xi_{nk}\leq x\},\ \Phi(x)=(2\pi)^{-1/2}\int_{-\infty}^x e^{-y^2/2}dy,\ \Phi_{nk}(x)=\Phi\left(\frac{x}{\sigma_{nk}}\right)$$ En la página 339 hay una desigualdad: $$\sum_{k=1}^n\left| t\int_{-\infty}^{\infty}(e^{itx}-1-itx)(F_{nk}(x)-\Phi_{nk}(x))dx\right|\leq\frac{|t|^3}{2}\varepsilon\sum_{k=1}^n\int_{|x|\leq\varepsilon}|x||F_{nk}(x)-\Phi_{nk}(x)|dx+2t^2\sum_{k=1}^n\int_{|x|>\varepsilon}|x||F_{nk}(x)-\Phi_{nk}(x)|dx$$ ¿Cómo puedo conseguirlo?

A continuación, el libro dice que podemos usar $$E|\xi|^n=\int_{-\infty}^{\infty}|x|^ndF(x)=n\int_0^\infty x^{n-1}[1-F(x)+F(-x)]dx$$ para probar $$\int_{|x|\leq\varepsilon}|x||F_{nk}(x)-\Phi_{nk}(x)|dx\leq2\sigma_{nk}^2$$ Pero no puedo entender por qué.

Gracias!

Answer 1

Tenemos que $|e^{itx}-1-itx|\leqslant \frac{|tx|^2}2$, la cual puede ser obtenida por la fórmula de Taylor, y esto le da una cota superior para $\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}$.

Por otra parte, tenga en cuenta que $$|e^{itx}-1-itx|\leqslant|e^{itx}-1|+|tx|\leqslant\left|\int_0^{|tx|}ie^{is}ds\right|+|tx|\leqslant 2|tx|,$$ y podemos controlar $\int_{\{|x|>\varepsilon\}}$.

Answer 2

Para la segunda pregunta, la reescritura de $$ \mathbb E|\xi|^n=\int_{-\infty}^{\infty}|x|^n\mathrm dF(x)=\int_{0}^{\infty}x^n\mathrm dF(x)+ \int_{0}^{\infty}x^n\mathrm dG(x), $$ con $G:x\mapsto-F(-x)$ y el uso de una fórmula de integración por partes para calcular $$ \int_0^{+\infty}u(x)\mathrm dv(x),\qquad u:x\mapsto x^n,\quad v=F+G-1.$$ Para utilizar esta identidad, tenga en cuenta que para cualquiera de las variables aleatorias $\zeta_1$ $\zeta_2$ con PDF $G_1$$G_2$, $$ \int_{-\infty}^{+\infty}|x|\,|G_1(x)-G_2(x)|\mathrm dx\leqslant(*), $$ con $$ (*)=\int_{-\infty}^0(-x)\,(G_1(x)+G_2(x))\mathrm dx+\int_0^{+\infty}x\,(1-G_1(x)+1-G_2(x))\mathrm dx. $$ Uno ve que $(*)=A(G_1)+A(G_2)$, con $$ A(G)=\int_0^{+\infty}x\,(1-G(x)+G(-x))\mathrm dx. $$ Aplicación de la primera identidad de uno se $A(G)=\frac12\mathbb E(\zeta^2)$ para cada variable aleatoria $\zeta$ con PDF $G$, por lo tanto $(*)=\frac12(\mathbb E(\zeta_1^2)+\mathbb E(\zeta_2^2))$. En particular, la desigualdad se menciona en el post se mantiene, sin que la restricción $|x|\leqslant\varepsilon$ (esto era de esperar) y sin el factor de $2$ sobre el lado derecho (este era menos de esperar).