Es allí cualquier interpretación geométrica de por qué la matriz de producto no es conmutativo?

Question

Es allí cualquier interpretación geométrica de por qué la matriz de producto no es conmutativo?

Del mismo modo, hay alguna interpretación geométrica de la matriz producto cuando se tienen las matrices $A$, $B$ tal que $AB=BA$?

Answer 1

Geométricamente, las transformaciones en los espacios son demasiado flexibles para permitir la conmutatividad muy a menudo.

Conmutatividad es realmente muy especial. Tal vez no es sorprendente para hacer ejemplos con conjuntos de funciones en pequeños conjuntos que no son conmutativas, o incluso con grupos de simetrías en polígonos regulares. El contexto que desea es dentro de transformaciones lineales. Pero es muy fácil encontrar ejemplos, incluso con las transformaciones tan simple como $90$ grado gira en torno a tres ejes ortogonales.

Escoge una base ortogonal y dos de los ejes y, a continuación, do $90$ grados de giro en ambos órdenes.

Usted puede pensar que el grupo generado por estas transformaciones como la rotación de simetrías de un cubo en $3$-espacio. Usted puede explorar esto con un 6 colindado mueren o cubo de Rubik.

Answer 2

Considere la posibilidad de una simple 2-D caso.

$ A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\0 & 2 \end{bmatrix} $ una dilatación en la que abandona la componente x sin cambios y se duplica el componente y

y

$ B=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\1 & 0 \end{bmatrix}$ que gira un vector hacia la izquierda 90 grados

si aplicamos ambas transformaciones para el vector $v=\begin{bmatrix} 1 \\0 \end{bmatrix}$

$Av=\begin{bmatrix} 1 \\0 \end{bmatrix}$ $BAv=\begin{bmatrix} 0 \\1 \end{bmatrix}$

sin embargo

$Bv=\begin{bmatrix} 0 \\1 \end{bmatrix}$ $ABv=\begin{bmatrix} 0 \\2 \end{bmatrix}$

Así que podemos ver que la aplicación de la rotación de la primera, se cambiará el efecto de la dilatación.

Answer 3

Matrices representa transformaciones lineales, y transformaciones lineales (en $n$-espacios dimensionales) no conmutan.

Esta es la respuesta sencilla y podemos comprobar esta afirmación simplemente usando la linealidad. Aquí una prueba en $\mathbb{R}^2$ que puede ser fácilmente representado geométricamente con una figura.

Deje $\mathbf{i},\mathbf{j}$ la base canónica y $\mathbf{v}=v_1\mathbf{i}+v_2\mathbf{j}$ un vector. Por definición una transformación lineal $L$ actúa como: $$ L(\mathbf{v})=v_1L(\mathbf{i})+v_2L(\mathbf{j}) $$ Donde $L(\mathbf{i})$ $L(\mathbf{j})$ son vectores que podemos representar como (véase la figura): $$ L(\mathbf{i})=l_1\mathbf{i}+l_2\mathbf{j} \qquad L(\mathbf{j})=l_3\mathbf{i}+l_4\mathbf{j} $$

Por otro transformación lineal $M$ tenemos:

$$ M(\mathbf{v})=v_1M(\mathbf{i})+v_2M(\mathbf{j}) $$ con $$ M(\mathbf{i})=m_1\mathbf{i}+m_2\mathbf{j} \qquad M(\mathbf{j})=m_3\mathbf{i}+m_4\mathbf{j} $$

Ahora, para demostrar que $L$ $M$ no conmutan es suficiente para mostrar que $ML(\mathbf{i}) \ne LM(\mathbf{i})$. Para mostrar este hecho, calcular: $$ ML(\mathbf{i})=M(l_1\mathbf{i}+l_2\mathbf{j})=l_1M(\mathbf{i})+l_2M(\mathbf{j})=(l_1m_1+l_2m_3)\mathbf{i}+(l_1m_2+l_2m_4)\mathbf{j} $$ y, de la misma manera, $LM(\mathbf{i})$.

Usted puede hacer lo mismo para$ML(\mathbf{j})$$LM(\mathbf{j})$. Así también se puede ver, porque una transformación lineal está representado por una matriz.