Agregar Categoría

Question

Deje $\mathcal C$ ser una categoría con imágenes a la este artículo de Wiki.

Deje $f \colon A \longrightarrow B$ $g: B\longrightarrow C$ dos morfismos. Deje $X \xrightarrow{r} A$ ser un subobjeto. A continuación, $f(X)$ se define para ser la imagen de $fr$. Es cierto que $$ (gf)(X) = g (f(X))?$$ I can show that $(fg)(X) \subseteq g(f(X))$, ya que es razonablemente fácil de dibujar una flecha el uso de la característica universal de la imagen.

Answer 1

Como me encuentro a menudo diciendo en este sitio, la noción de "imagen" en una categoría sin la suficiente estructura es a menudo bastante maleducado y no muy interesante.

En primer lugar, una respuesta positiva. Deje $\mathcal{C}$ ser una categoría con pullbacks (o al menos, pullbacks de monomorphisms). A continuación, para cada uno de los morfismos $f : A \to B$ $\mathcal{C}$ obtenemos un pullback functor $f^{-1} : \textrm{Sub}_\mathcal{C}(B) \to \textrm{Sub}_\mathcal{C}(A)$. Si $\mathcal{C}$ tiene imagen factorisations, entonces cada uno de esos functor ha dejado adjunto, $\exists_f : \textrm{Sub}_\mathcal{C}(A) \to \textrm{Sub}_\mathcal{C}(B)$ que envía un subobjeto $A' \rightarrowtail A$ a la imagen de $A' \rightarrowtail A \xrightarrow{f} B$. Ahora, es bien entendido hecho de que la izquierda adjoints son únicos hasta un único isomorfismo, y la retirada de pegar lema implica $f^{-1} g^{-1} \cong (g \circ f)^{-1}$, por lo $\exists_g \exists_f \cong \exists_{g \circ f}$, como se esperaba. En particular, esto es cierto cuando se $\mathcal{C}$ es un regular de la categoría, que es la configuración usual para el estudio de la imagen factorisations.

Ahora, una respuesta negativa. Considere la siguiente categoría:

• Los objetos se $T, A, B, C, B', C', C''$.
• Morfismos son $x, y, z : T \to A$, $f : A \to B$, $g : B \to C$, $\overline{f} : A \to B'$, $b : B' \to B$, $c : C' \to C$, $c' : C'' \to C'$, $\overline{g \circ b} : B' \to C'$, $\overline{g \circ f} : A \to C''$, además de sus compuestos, sujeto a las siguientes ecuaciones:
  • $f = b \circ \overline{f}$
  • $g \circ b = c \circ \overline{g \circ b}$
  • $\overline{g \circ b} \circ \overline{f} = c' \circ \overline{g \circ f}$
  • $\overline{f} \circ x = \overline{f} \circ y$
  • $\overline{g \circ f} \circ x = \overline{g \circ f} \circ y = \overline{g \circ f} \circ z$

Dándose cuenta de $\mathcal{C}$ como ciertos no-subcategoría plena de $\textbf{Set}$ (decir, $T = \{0\}$, $A = \{ 1, 2, 3 \}$, $B' = \{ 4, 5 \}$, $B = \{ 6, 7 \}$, $C'' = \{ 8 \}$, $C' = \{ 9 \}$, $C = \{ 10 \}$), se puede comprobar de la siguiente inecuación:

• $x \ne y$, $y \ne z$, $z \ne x$.
• $\overline{f} \circ y \ne \overline{f} \circ z$.

Por lo tanto, $f, \overline{f}, g, g \circ f, \overline{g \circ f}, g \circ b, \overline{g \circ b}, \overline{g \circ b} \circ \overline{f}$ no monic, mientras que el resto son. No es difícil comprobar que tenemos la siguiente imagen factorisations: \begin{align} f & = b \circ \overline{f} & \overline{f} & = \textrm{id}_{B'} \circ \overline{f} & g & = \textrm{id}_C \circ g \\ g \circ f & = (c \circ c') \circ \overline{g \circ f} & \overline{g \circ f} & = \textrm{id}_{C''} \circ \overline{g \circ f} \\ g \circ b & = c \circ \overline{g \circ b} & \overline{g \circ b} & = \textrm{id}_{C'} \circ \overline{g \circ b} & \overline{g \circ b} \circ \overline{f} & = c' \circ \overline{g \circ f} \\ \end{align} En particular, la imagen de $g \circ f$ es no isomorfo a la imagen de $g \circ b$, aunque $b$ es la imagen de $f$. Como era de esperar, este debe de ser porque la categoría no tiene suficiente pullbacks, y, efectivamente, el retroceso de $\overline{g \circ b}$ a lo largo de $c'$ no existe.