¿Qué Fatou del Lema decir realmente?

Question

Fatou del lema dice que

si $f_n:X \rightarrow [0,\infty]$ son medibles,entonces

$$\liminf_{n\rightarrow \infty}\left(\int_X f_n \,\mathrm{d} \mu\right) \geq \int_X \liminf_{n\rightarrow \infty} f_n \,\mathrm{d}\mu$$

Me gusta saber lo que este Lema que dice realmente. Es decir, ¿cómo puedo expresar en palabras (informal) lo que este lema lo dice?

Answer 1

$$ (0,1),\quad(1,0),\quad(0,1),\quad(1,0),\quad\ldots $$ Los términos de una secuencia son alternativamente $(0,1)$$(1,0)$. En cualquier caso, la suma de los dos componentes de cada par es $1$, por lo que el lim inf de la suma de los dos es $1$. Pero el lim inf de la secuencia de pares es $(0,0)$, y la suma de los dos componentes de la pareja es $0$.

En otras palabras, para cada valor de $x$, $f_n(x)$ puede ser pequeño para los infinitos $n$, pero los valores de $n$ que $f_n(a)$ es pequeña, no son las mismas para las que $f_n(b)$ es pequeña.

Answer 2

Si $E_i$ es medible entonces $$ \lim\ \inf E_i =\{x \a mediados de x\in E_i\ \text{ excepto un número finito } i \} $$

Luego tenemos a $$ \mu (\lim\ \inf E_i)\leq \lim\ \inf \mu(E_i)\ \ast$$

Si $E_i$ es mensurable, a continuación, $f_i=\chi_{E_i}$ es medible. Así $$\lim\ \inf \mu(E_i) = \lim\ \inf \int_X f_i $$

Y si $E:=\lim\ \inf E_i$ $$ \lim\ \inf f_i= \chi_E $$

Por lo tanto Fatou es una generalización de $\ast$.