Demostrar $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \ge ab + bc + ca$

Question

Deje $a,b,c$ no son números negativos, de tal manera que $a+b+c = 3$.

Demostrar que $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \ge ab + bc + ca$

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He aquí mi idea:

$\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \ge ab + bc + ca$

$2(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) \ge 2(ab + bc + ca)$

$2(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) - 2(ab + bc + ca) \ge 0$

$2(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) - ((a+b+c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2) \ge 0$

$2(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) + (a^2 + b^2 + c^2) - (a+b+c)^2 \ge 0$

$2(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) + (a^2 + b^2 + c^2) \ge (a+b+c)^2$

$2(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) + (a^2 + b^2 + c^2) \ge 3^2 = 9$

Y yo estoy atrapado aquí.

Necesito demostrar que:

$2(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) + (a^2 + b^2 + c^2) \ge (a+b+c)^2$ o

$2(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) + (a^2 + b^2 + c^2) \ge 3(a+b+c)$, debido a $a+b+c = 3$

En el primer caso el uso de Cauchy-Schwarz Desigualdad puedo demostrar que:

$(a^2 + b^2 + c^2)(1+1+1) \ge (a+b+c)^2$

$3(a^2 + b^2 + c^2) \ge (a+b+c)^2$

Ahora tengo que demostrar que:

$2(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) + (a^2 + b^2 + c^2) \ge 3(a^2 + b^2 + c^2)$

$2(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) \ge 2(a^2 + b^2 + c^2)$

$\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \ge a^2 + b^2 + c^2$

Necesito no sé cómo continuar.

En el segundo caso, traté de demostrar:

$2(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) \ge 2(a+b+c)$ y

$a^2 + b^2 + c^2 \ge a+b+c$

El uso de Cauchy-Schwarz Desigualdad he probado:

$(a^2 + b^2 + c^2)(1+1+1) \ge (a+b+c)^2$

$(a^2 + b^2 + c^2)(a+b+c) \ge (a+b+c)^2$

$a^2 + b^2 + c^2 \ge a+b+c$

Pero no puedo encontrar una forma de demostrar que $2(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) \ge 2(a+b+c)$

Así que por favor me ayude con este problema.

P. S

Mi idea inicial, que está demostrando:

$2(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) + (a^2 + b^2 + c^2) \ge 3^2 = 9$

tal vez no es la mejor manera de probar esta desigualdad.

Answer 1

Voy a utilizar el siguiente lema (la prueba a continuación):

$$2x \geq x^2(3-x^2)\ \ \ \ \text{ for any }\ x \geq 0. \tag{$\clubsuit$}$$

Inicio multiplicando nuestra desigualdad por dos

$$2\sqrt{a} +2\sqrt{b} + 2\sqrt{c} \geq 2ab +2bc +2ca, \tag{$\spadesuit$}$$

y observar que

$$2ab + 2bc + 2ca = a(b+c) + b(c+a) + c(b+c) = a(3-a) + b(3-b) + c(3-c)$$

y por lo tanto $(\spadesuit)$ es equivalente a

$$2\sqrt{a} +2\sqrt{b} + 2\sqrt{c} \geq a(3-a) + b(3-b) + c(3-c)$$

el cual puede ser obtenido mediante la suma de hasta tres aplicaciones de $(\clubsuit)$ $x$ igual a $\sqrt{a}$, $\sqrt{b}$ y $\sqrt{c}$ respectivamente:

\begin{align} 2\sqrt{a} &\geq a(3-a), \\ 2\sqrt{b} &\geq b(3-b), \\ 2\sqrt{c} &\geq c(3-c). \\ \end{align}

$$\tag*{$\square$}$$

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El lema

$$2x \geq x^2(3-x^2) \tag{$\clubsuit$}$$

es cierto para cualquier $x \geq 0$ ( $x \leq -2$ ) debido a

$$2x - x^2(3-x^2) = (x-1)^2x(x+2)$$

es un polinomio con raíces en$0$$-2$, una doble raíz en $1$ y un coeficiente positivo en el mayor grado, $x^4$.

$\hspace{60pt}$

Espero que esta ayuda ;-)

Answer 2

Desde la desigualdad de $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \ge ab + bc + ca$ observa que el $$2(ab+bc+ac)=(a+b+c)^2-a^2-b^2-c^2$$ podemos reescribir la desigualdad original como
$$a^2+2\sqrt{a}+ b^2+2\sqrt{b}+ c^2+2\sqrt{c}\ge9$$ since $(a+b+c)=3$. El uso de AM-GM conjunto de la LHS de la siguiente manera: $$a^2+\sqrt{a}+\sqrt{a}\ge3\sqrt[3]{a^2 \sqrt{a}\sqrt{a}}=3a$$ $$b^2+\sqrt{b}+\sqrt{b}\ge3\sqrt[3]{b^2 \sqrt{b}\sqrt{b}}=3b$$ $$c^2+\sqrt{c}+\sqrt{c}\ge3\sqrt[3]{c^2 \sqrt{c}\sqrt{c}}=3c$$ La adición de las tres desigualdades rendimientos $$a^2+b^2+c^2+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \ge 3(a+b+c) =9 $$ with equality if an only if $un$=$b$=$c$=$1$.