Aproximación de funciones sobre conjuntos compactos por holomorphic o funciones polinómicas

Question

Estoy estudiando para un examen y estoy atascado en el siguiente problema:

¿Existe una secuencia de holomorphic funciones de $\{f_n(z)\}_{n=1}^{\infty}$ en la unidad de disco tal que $f_n(z)\to1/z$ uniformemente en $\{z\in\mathbb{C}\colon|z|=1/2\}$$n\to\infty$?

¿Qué herramientas debo utilizar si $1/z$ fueron reemplazados por otro de las funciones, o decir que la $f_n$'s fueron reemplazados por los polinomios de lugar?

Answer 1

Otro enfoque a los problemas de este tipo se basa en la máxima módulo principio. Desde $f_n\to 1/z$ $|z|=1/2,$ $g_n(z)=f_n (z)z\to 1$ $|z|=1/2.$ Por la MMP esto implica que hemos de convergencia en el conjunto total $|z|\le 1/2.$, Pero esto es imposible, ya $g_n(0)=0$ no converge a $1$ al $n\to\infty.$

Answer 2

Si $f_n\to f$ uniformemente en $|z|=1/2$,$\displaystyle{\int_{|z|=1/2}f_n(z)dz\to \int_{|z|=1/2}f(z)dz}$. Si cada una de las $f_n$ es holomorphic en el disco (en particular, si cada uno es un polinomio), esto implica que $\displaystyle{\int_{|z|=1/2}f(z)dz=0}$. En tu ejemplo, usted puede calcular la integral de la hipotética límite para comprobar si esto es o no es el caso.

Pero ese método no funciona en caso de que el hipotético límite se $1/z^k$, $k>1$, por ejemplo. Para adaptarse a ese caso, usted podría considerar la posibilidad de $z^{k-1}f_n(z)\to 1/z$.

Aquí es un método que se aplicará a una clase más general de hipotéticos límites. Si $f_n\to f$ uniformemente en $|z|=1/2$, $(f_n)$ es uniformemente de Cauchy en $|z|\leq 1/2$ a un máximo del módulo de teorema, por lo que hay una función de $g$ tal que $f_n\to g$ uniformemente en el disco cerrado de radio $1/2$. A continuación, $g$ debe ser continua y analítica en el interior de este disco. Si $f$ tiene módulo constante como en los ejemplos mencionados hasta el momento, entonces por reescalado y la aplicación de Robert Israel, la respuesta a tu otra pregunta, vemos que $g$ es un reescalado finito producto de Blaschke, que limita en gran medida las posibilidades de $f$.

En cualquier caso, $f$ debe ser la restricción de límite de una función continua en el disco cerrado que es analítica en el interior, por lo que puede ser interesante tener en cuenta esta clase de funciones. Una caracterización de esta clase es el conjunto de todas las funciones continuas en el círculo cuya negativamente indexado coeficientes de Fourier se desvanecen.

También, tenga en cuenta que la pregunta que siempre tienen la misma respuesta si polinomios o más general holomorphic funciones son consideradas, debido a que cada holomorphic función en la unidad de disco es aproximar uniformemente por polinomios en cada disco más pequeño (e.g, usando la serie de Taylor).