Resuelve la ecuación: $\cos^2(x)+\cos^2(2x)+\cos^2(3x)=1$

Question

Cómo resolver la ecuación

$$\cos^2(x)+\cos^2(2x)+\cos^2(3x)=1$$

¿Alguien puede darme alguna pista?

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\cos^2(x)+\cos^2(2x)+\cos^2(3x)=1\Longleftrightarrow$$ $$1+6\cos^2(x)-20\cos^4(x)+16\cos^6(x)=1\Longleftrightarrow$$

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Sustituir $y=\cos^2(x)$ :

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$$16y^3-20y^2+6y=0\Longleftrightarrow$$ $$2y(2y-1)(4y-3)=0\Longleftrightarrow$$ $$y(2y-1)(4y-3)=0$$

Answer 2

Una pista: Simplifique $1+6\cos^2(x)-20\cos^4(x)+16\cos^6(x)=1$ y luego sustituir $y=\cos^2(x)$ y entonces obtendrá $16y^3-20y^2+6y+1=1$

Answer 3

SUGERENCIA: $$\cos^2(x)+\cos^2(2x)+\cos^2(3x)=1$$ $$\cos^2(x)+\cos^2(3x)=1-\cos^2(2x)$$ $$\cos^2(x)+\cos^2(3x)=(1-\cos(2x))(1+\cos(2x))$$ $$\cos^2(x)+\cos^2(3x)=(2\sin^2(x))(2\cos^2(x))$$ $$\cos^2(x)+(4\cos^3(x)-3\cos (x))^2=2(1-\cos^2(x))(2\cos^2(x))$$ $$16\cos^6x-20\cos^4x+6\cos^2x=0$$ ahora, deja que $\cos^2 x=t$ , $$8t^2-10t+3t=0$$ $$t(2t-1)(4t-3)=0$$

Answer 4

Utilizando Demostrar que $\cos (A + B)\cos (A - B) = {\cos ^2}A - {\sin ^2}B$ ,

$$\cos^2(x)+\cos^2(2x)+\cos^2(3x)-1$$ $$=\cos^2(x)-\sin^23x+\cos^2(2x)$$ $$=\cos(3x-x)\cos(3x+x)+\cos^2(2x)$$ $$=\cos2x(\cos4x+\cos2x)$$

Ahora usa Fórmulas de prostaféresis en $$\cos4x+\cos2x$$

¿Debería usar una sola palabra más?

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Como alternativa, se puede utilizar $\cos2A=2\cos^2A-1,$

$$\cos^2(x)+\cos^2(2x)+\cos^2(3x)=1$$

$$\iff\cos2x+\cos4x+\cos6x+1=0$$

$$\cos6x=2\cos^23x-1$$ y utilizar la Fórmula de la Prostaféresis en $$\cos2x+\cos4x$$

Answer 5

$\cos^2(x)+[2 \cos^2x-1]^2 +[4 \cos^3 x-3 \cos x]^2 = 1$ Simplifica la ecuación para obtener: $ \cos^2 x [8 \cos^4 x - 10 \cos^2 x + 3] = 0$ . Espero que esto ayude.