Clases de tamaño

Question

Yo estaba trabajando en las clases conjugacy de especial lineales con grupos de diversas dimensiones. He correctamente identificado las clases conjugacy de SL($2,\mathbb{R}$) por el enfoque dado por Keith Conrad en estas notas (consulte la página 6-7).

$\textbf{Primary question:}$

Para el siguiente paso en mis cálculos, necesito las clases conjugacy de SL($4,\mathbb{R}$), pero no puedo encontrar en cualquier parte. Alguien me puede ayudar a encontrarlos? Idealmente, me gustaría un total de derivación, pero sólo una declaración de lo que el conjugacy clases son, también está bien! (O una referencia a un artículo o un libro en donde se les da.)

$\textbf{Subsequent question:}$

Por ahora, SL($4,\mathbb{R}$) es todo lo que estoy trabajando, pero es muy probable que voy a trabajar en general SL($n,\mathbb{R}$) y SL ($n,\mathbb{Z}$)$n\in\mathbb{N}$, en el futuro. ¿Alguien tiene una referencia a un artículo o libro que estados conjugacy clases para grupos como este?

Gracias de antemano por la ayuda!

Answer 1

Consideremos, en primer lugar el problema de determinar cuando dos $n \times n$ matrices cuadradas sobre un campo $k$ son conjugado por un elemento de a $GL_n(k)$; el trabajo con la conjugación por un subgrupo de $GL_n(k)$ es un refinamiento de este modo, es bueno tener un asimiento en este caso en primer lugar. Si $k$ es algebraicamente cerrado el conjugacy clases son etiquetados por Jordania formas normales hasta permutación de los bloques, y en general están marcadas por una generalización llamado racional formas canónicas; ambos de estos se derivan de la estructura teorema de finitely generado los módulos a través de un PID, ya que el problema es equivalente a la clasificación de $n$-dimensiones de los módulos a través de $k[x]$ hasta isomorfismo.

Especializados a $GL_4(\mathbb{R})$, podemos concluir lo siguiente. Tenemos los siguientes casos dependiendo de lo que los autovalores de aspecto:

1. Todos los autovalores son reales. En este caso, el racional formas canónicas son reales Jordania formas normales. Genéricamente estos son diagonales de las matrices, pero el siguiente bloque de Jordan de las estructuras también son posibles: puede haber un $2 \times 2$ Jordania bloque, dos $2 \times 2$ Jordania bloques, uno de $3 \times 3$ Jordania bloque, o un $4 \times 4$ Jordania bloque.

2. Dos autovalores son reales y dos son complejas. En este caso, el racional formas canónicas son directos sumas de un $2 \times 2$ diagonal de bloque o de un $2 \times 2$ Jordania bloque junto con un $2 \times 2$ compañero de la matriz de un polinomio cuadrático con raíces complejas.

3. Todos los autovalores son complejos. En este caso, el racional formas canónicas son directos sumas de dos $2 \times 2$ compañero de matrices o $4 \times 4$ "Jordania bloque" de $2 \times 2$ matrices como se describe en el artículo de la Wikipedia racional de las formas canónicas.

Junto con la restricción adicional de que el producto de los valores propios es igual a $1$, esto responde a la pregunta de cuando dos matrices en $SL_4(\mathbb{R})$ son conjugado por un elemento de a $GL_4(\mathbb{R})$. Un elemento de $GL_4(\mathbb{R})$ se puede aplicar el zoom a tiene determinante cualquiera de las $1$ o $-1$, por lo que este es casi el mismo como conjugacy por elementos de $SL_4(\mathbb{R})$, excepto para la libertad adicional para conjugar por algunos, por consiguiente, la matriz de determinante $-1$.

Esto significa que la clasificación de las clases conjugacy en $SL_4(\mathbb{R})$ participación de algunos de los casos anteriores, la división en dos de los casos; no sé la parte superior de mi cabeza lo que al dividir parece, por desgracia.