¿$gHg^{-1}\subseteq H$ Implica$gHg^{-1}=H$ para grupos de Lie compactos?

Question

Permita que$H$ sea un subgrupo cerrado de un grupo de Lie compacto$G$. Supongamos que$gHg^{-1}\subseteq H$ para algunos$g\in G$. ¿Sigue eso$gHg^{-1}=H$?

Si$H$ está conectado, la respuesta es claramente sí, ya que$gHg^{-1}\subseteq H$ implica$\mathrm{Ad}(g)\mathfrak{h}\subseteq \mathfrak{h}$, lo que implica$\mathrm{Ad}(g)\mathfrak{h}=\mathfrak{h}$. Pero no estoy seguro de que el caso$H$ no esté conectado.

(Hay contraejemplos para algunos grupos discretos infinitos, pero esos no son compactos).

Answer 1

Sí, es cierto. Utilice la siguiente proposición con $K=gHg^{-1}$.

La proposición. Deje $H$ ser un compacto de Lie del grupo y $K$ un subgrupo compacto de $H$ de la misma dimensión y con el mismo número de componentes conectados. A continuación, $K=H$.

Prueba. Deje $H_0$ ser el componente conectado el elemento de identidad de $H$. A continuación, $H/H_0$ es en bijection con el conjunto de componentes conectados de $H$. En particular, $H/H_0$ es un conjunto finito (desde $H$ es compacto). Las mismas declaraciones presionado para $K/K_0$. Desde $\dim K=\dim H$, $K$ está abierto en $H$ y, por tanto,$K_0=H_0$. Así, tenemos un inyectiva mapa de $K/K_0\to H/H_0$. Desde $K/K_0$ $H/H_0$ tienen el mismo número de elementos, el mapa de $K/K_0\to H/H_0$ es también surjective, y por lo tanto $H\subseteq K$. $\square$