Integral por cambio de variable$\int_0^{\pi} \sin^4(x)\cos^6(x)\,dx $

Question

Qué es$$\int_0^{\pi} \sin^4(x)\cos^6(x)\,dx $ $

Poniendo$\sin(x) = t$, luego$\cos(x) = \sqrt{1-t^2}$ y$\cos(x)\,dx = dt$

A $x = 0$, $\sin(x) = 0$, $\therefore\ t = 0$

A $x = \pi$, $\sin(x) = 0$, $\therefore\ t = 0$

Integral se convierte

ps

Integral no debería evaluar a cero

Lo que está pasando aquí, no puedo encontrar ningún error ...

Answer 1

La periodicidad$π-$ del integrando no le permite usar su cambio de variables. Pero en lugar de insertar el cambio de variables$u=π-x$ obtenemos

ps

mira aquí para la función Beta y Gamma y usa el hecho de que$$\int_{0}^{\pi} \sin^4(x)\cos^6(x) dx =\int_{0}^{\pi/2} \sin^4(x)\cos^6(x) dx+ \int_{π/2}^{\pi} \sin^4(x)\cos^6(x) dx\\= 2\int_{0}^{\pi/2} \sin^4(x)\cos^6(x) dx=2\int_{0}^{\pi/2} \sin^{5-1}(x)\cos^{7-1}(x) dx \\=B(5/2,7/2) = \frac{\Gamma(5/2)\Gamma(7/2)}{\Gamma(6)} =\frac{3π}{256} $,$\Gamma(n+1)=n!$,

Answer 2

Otros ya se han presentado varios enfoques para encontrar esta integral, pero permítanme ofrecer una respuesta corta a tu pregunta:

¿Qué está pasando aquí, no puedo encontrar ningún error....

Su principal error es aquí:

Poner a $\sin(x)=t$$\color{red}{\cos(x)=\sqrt{1−t^2}}$.

La declaración en rojo no es cierto. Puesto que la integral rangos de$x=0$$x=\pi$, tiene los valores de $x$ en los cuadrantes I y II. Pero en el cuadrante II, es decir, para $x\in(\frac{\pi}{2},\pi)$, los valores de $\cos(x)$ son negativos. En otras palabras, para $x\in(\frac{\pi}{2},\pi)$, tenemos $$\cos(x)=-\sqrt{1−t^2}\neq\sqrt{1−t^2},$$ lo que invalida la propuesta de sustitución.

Answer 3

$$\sin^4x\cos^6x=\frac{1}{16}\cos^2x\sin^42x=\frac{1}{128}(1+\cos2x)(1-\cos4x)^2=$ $$$=\frac{1}{128}(1+\cos2x)\left(1-2\cos4x+\frac{1+\cos8x}{2}\right)=$ $$$=\frac{1}{256}(1+\cos2x)(3-4\cos4x+\cos8x),$ $ que dice que nuestra integral es$$\int\limits_0^{\pi}\frac{3}{256}dx=\frac{3\pi}{256}.$ $

Answer 4

Esta es una respuesta tanto a la cooperativa y a @GuyFsone, que no entiende mi objeción. Y es demasiado largo para un comentario.

La pregunta original es

¿Qué está pasando aquí, no puedo encontrar ningún error...

Echemos un vistazo a una sustitución en una integral. Wikipedia nos dice que

$$\int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(x)\,dx = \int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\, dt$$

Donde $\phi$ es una función diferenciable definida en $[a,b]$. En realidad, sólo necesita ser definido en $]a,b[$ (a continuación, puede obtener un intervalo en un intervalo infinito como resultado de la sustitución).

Aviso, la variable en la integral original es $x$, y para la sustitución de uno tiene que escribir $x=\phi(t)$. Generalmente, se piensa en sustitución hacia atrás, y que iba a escribir $t=\psi(x)$, pero esto sólo es válido si se puede invertir la función de $\psi$, para escribir la sustitución de $x=\phi(t)$ según sea necesario. Para invertir una función, tiene que ser un bijection. Aquí se han escogido $t=\sin(x)$,$x\in[0,\pi]$, y no se puede invertir el seno de $[0,\pi]$.

Observe que $\phi$, por otro lado, no necesita ser bijective: es porque usted escribió $t=\psi(x)$ en el primer lugar que usted tiene para invertir la función de $\psi$ conseguir $\phi$.

Ahora, ¿cómo podríamos hacerlo correctamente, incluso con una función periódica? La cotangente viene a la mente, como se define, y bijective en $]0,\pi[$. La inversa es arccotangent, o $x=\mathrm{arccot}(t)$.

Una nota acerca de las definiciones: la cotangente es $\pi$-periódico, por lo tanto no tiene inversa en $\Bbb R$. Usted tiene que escoger un intervalo donde es bijective. Aquí, es obvio que el intervalo es $]0,\pi[$. Si desea una parcela de este arccotangent, eche un vistazo a esto. La trama se muestra por Wolfram Alpha es otra posibilidad, pero no la queremos aquí. El primero es el mismo, con una constante de $\pi$ añadido por $t<0$. La derivada es la misma donde están definidos. El primero, que vamos a utilizar aquí, tiene la ventaja de tener la imagen de $]0,\pi[$ como queremos, y también de ser diferenciable en a $]-\infty,+\infty[$.

Ahora, para $t\in]0,\pi[$, $\dfrac{\cos^2 \mathrm{arccot}(t)}{\sin^2 \mathrm{arccot}(t)}=t^2$, por lo tanto $1=(1+t^2)\sin^2\mathrm{arccot}(t)$ y

$$\sin^2\mathrm{arccot}(t)=\frac1{1+t^2}$$

Asimismo,

$$\cos^2\mathrm{arccot}(t)=\frac{t^2}{1+t^2}$$

Y, por supuesto, $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\mathrm{arccot}(t)=\dfrac{-1}{1+t^2}$

La sustitución es por lo tanto:

$$\int_0^\pi \sin^4(x)\cos^6x\mathrm dx=-\int_{\infty}^{-\infty} \frac{t^6}{(1+t^2)^6}\mathrm dt=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{t^6}{(1+t^2)^6}\mathrm dt$$

Esta integral no es muy fácil. Primero tienes que utilizar fracciones parciales:

$$\frac{t^6}{(1+t^2)^6}=\frac{1}{(1+t^2)^3}-\frac{3}{(1+t^2)^4}+\frac{3}{(1+t^2)^5}-\frac{1}{(1+t^2)^6}$$

Pero las integrales de cada uno de los términos llegar a ser muy largos (ver esta). Era simplemente un ejemplo para mostrar cómo la sustitución puede ser hecho correctamente aquí.

---

Otra forma de utilizar la sustitución, aún con $t=\sin(x)$, es usarlo en un intervalo donde el seno se bijective. En el caso de integrar en $[0,\pi/2]$ $[\pi/2,\pi]$ por separado, va a trabajar. Ver zipirovich la respuesta.

Answer 5

La sustitución se puede hacer para trabajar con el siguiente procedimiento (que funciona para todas las integrales de $\sin^nx\cos^mx$ a un intervalo de tiempo que es la unión de varios "completo cuadrantes", es decir, múltiplos y se traduce de $[0,\pi/2]$.

Paso 1. Uso de la identidad $\sin^2x+\cos^2x=1$ a su vez, todos los poderes del seno (o coseno, no hace ninguna diferencia) en la primera o en el cero de energía dependiendo de la paridad de $n$.

Paso 2. Estudio del intervalo. Tome ventaja de las simetrías $\sin(\pi-x)=\sin x$, $\cos(-x)=\cos x$, $\sin(x+\pi)=-\sin x$, $\cos(x-\pi)=-\cos x$ et cetera para escribir todo lo que en el intervalo de $[0,\pi/2]$. Observar que muchas de las cancelaciones son posibles aquí.

Paso 3. Si $n$ era extraño (no se aplica aquí) que se quedan con los términos de la forma $\sin x\cos^\ell x$, y puede utilizar la fórmula $$\int f'f^\ell=\frac1{\ell+1}f^{n+1}$$ a obtener la integral indefinida. Si $n$ es incluso tiene una combinación lineal de las integrales como $$ \int_0^{\pi/2}\cos^\ell x\,dx. $$ En este punto de mis estudiantes pueden hacer referencia a una tabla de integrales definidas (previstas para ellos en los exámenes), y buscar el valor. Que la fórmula de tabla se obtiene durante el curso. Son bienvenidos a memorizar, pero eso es opcional.

Vamos a ver.

El primer paso sería reescribir la integral como $$ \int_0^\pi\sin^4x\cos^6x\,dx=\int_0^\pi(\cos^6x-2\cos^8x+\cos^{10}x)\,dx. $$

Aquí todos los términos son incluso poderes del coseno (no cambios), y sabemos que a simple vista que las integrales sobre $[0,\pi/2]$ $[\pi/2,\pi]$ son iguales (dos cuarto de ondas). Por lo tanto la integral es igual a $$2\int_0^{\pi/2}(\cos^6x-2\cos^8x+\cos^{10}x)\,dx. $$ Como prometí, aquí usted puede utilizar su sustitución. En realidad, podría haber omitido el Paso 1 aquí, y simplemente observar a simple vista que su integral es $$2\int_0^{\pi/2}\sin^4x\cos^6x\,dx.$$

Luego miramos los integrales definidas $\int_0^{\pi/2}\cos^{2k}x\,dx$ a partir de la tabla y ya está.

---

Observaciones finales:

• No hay necesidad de aprender muchos trucos con identidades trigonométricas.
• La tabla puede ser fácilmente reconstruido después de que usted ha aprendido acerca de la compleja función exponencial y su relación con las funciones trigonométricas.
• Este tipo de definitiva integrales venir muy a menudo en el cálculo multivariable. Mover a coordenadas cilíndricas o esféricas vueltas integrales de multivariable de los polinomios de más de un cilindro, una esfera (o una fracción adecuada de uno) en un integral, y todo es coser y cantar.