¿Cómo evalúo$\sum_{r = 0}^{n^2} (-1)^r \binom{n^2+n}{r}$?

Question

ps

Esto es lo que dice Wolfram:

¿Hay alguna manera simple de probarlo? ¿Te gusta contar argumentos o manipular expansiones binomiales?

Answer 1

Usando la identidad de Vandermonde : $$ \begin{align} \sum_{r=0}^{n^2}(-1)^r\binom{n^2+n}{r} &=\sum_{r=0}^{n^2}(-1)^{n^2}\binom{n^2+n}{r}\binom{-1}{n^2-r}\\ &=(-1)^{n^2}\binom{n^2+n-1}{n^2} \end {align} $$

Answer 2

Este es un caso de$$\sum_{r=0}^k(-1)^r\binom mr=(-1)^k\binom{m-1}k$ $ que se prueba fácilmente por inducción en$k$.