¿Es esto cierto para una función continuamente diferenciable?

Question

Demuestre o encuentre un contraejemplo: si$f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ es continuamente diferenciable con$f(0)=0$, entonces existen funciones continuas$g_1,\dots,g_n:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ con$$f(x)=x_1g_1(x_1,\dots, x_n)+\dots+x_ng_n(x_1,\dots, x_n)$ $

No sé por dónde empezar ¿Debo usar el teorema de la función implícita? Por favor dame algunos consejos.

Feliz año nuevo.

Answer 1

Corrige$x\in{\mathbb R}^n$ y considera la función auxiliar$$\phi(t):=f(t\,x)\qquad(0\leq t\leq 1)\ .$ $ La regla de la cadena da luego$$f(x)=\phi(1)-\phi(0)=\int_0^1\phi'(t)\>dt=\int_0^1\nabla f(t\,x)\cdot x\>dt=\sum_{i=1}^n x_i\,g_i(x)$ $ con$$g_i(x):=\int_0^1 f_{.i}(t\, x)\>dt\qquad(1\leq i\leq n)\ .$ $

Answer 2

Para$1 \le i \le n$$x_i \ne 0$, definir: $$g_i(x_1,\ldots,x_n) := \frac {f(x_1, \cdots, x_{i-1}, x_i, 0, 0, \cdots, 0) - f(x_1, \cdots, x_{i-1}, 0, 0, 0, \cdots, 0)} {x_i}$$

Al $x_i = 0$, vamos a $g_i(x_1,\ldots,x_n)$ ser su límite.

Tenga en cuenta que $\displaystyle g_1(x_1,\ldots,x_n) = \frac {f(x_1, 0, \cdots, 0) - f(0, 0, \cdots, 0)} {x_1} = \frac {f(x_1, 0, \cdots, 0)} {x_1}$.

Es un ejercicio trivial demostrar que $f = \sum x_i g_i$.

El bien definedness de tales funciones (es decir, el hecho de que el límite existe) y la continuidad de estas funciones se derivan de la definición de "continuamente diferenciable", que por desgracia no han proporcionado.

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Por ejemplo, cuando se $n=2$, esta construcción asciende a: $$f(x,y) = x \left( \frac {f(x,0)} x \right) + y \left( \frac {f(x,y) - f(x,0)} y \right)$$

Al $n=3$, esta construcción asciende a: $$f(x,y,z) = x \left( \frac {f(x,0,0)} x \right) + y \left( \frac {f(x,y,0) - f(x,0,0)} y \right) + z \left( \frac {f(x,y,z) - f(x,y,0)} z \right)$$