Encontrar las dimensiones correctas de una ecuación motivada por la física

Question

He estado tratando de encontrar las dimensiones adecuadas de algunas funciones en la ecuación

$$\begin{cases}-\rho U\cdot \nabla u = -\nabla p + \nabla^2u \\ \nabla \cdot u = 0 \end{casos}$$

como se ve aquí, en este artículo de la Wikipedia sobre el Oseen ecuaciones.

$u$ $U$ son de dos velocidades, lo que me hace pensar que son los dos vectores de la misma dimensión $d$ (la dimensión en la que estamos trabajando) y que dependen de las coordenadas espaciales (y tal vez en el tiempo). Así que creo $u, U: \mathbb{R}^d\to \Bbb{R}^d$ o $u,U:\Bbb{R}^{d+1}\to\Bbb{R}^d$. $p$ es la presión, así que yo diría que es una función escalar que depende de las coordenadas espaciales, pero no en el tiempo, por lo $p: \Bbb{R}^d \to \Bbb{R}$.

Creo que mi lucha tiene que ver con el hecho de que yo no sé lo que son los significados de los operadores en el contexto en que están siendo utilizados.

Si $u,U$ $p$ tiene las dimensiones creo que ellos tienen, entonces $\nabla \cdot u$ es la única cosa que puedo entender. ¿Qué es el gradiente, $\nabla u$, quiere decir? Al $u$ es escalar, $\nabla u$ es un vector. Lo que si $u$ es un vector ya? Es $\nabla u$ una matriz?

Mientras que tratando de entender lo que está pasando que he leído acerca de dyadics en Wikipedia. Se sentía como que podría tener sentido aquí, pero entonces ¿cuál es el significado de $U\cdot \nabla u$ si $U$ es un vector y $\nabla u$ es una matriz?

Y, por supuesto, $\nabla^2$, lo que yo sé es el operador de Laplace, con la que también estoy familiarizado cuando se aplica a una función escalar. Si $u$ es un vector, entonces, ¿qué es $\nabla^2 u$? Es un vector? Creo que debe ser, para ser summable con $-\nabla p$...

Si alguien pudiera me apunte a algo para leer/aprender con el fin de ser capaz de entender esto, yo estaría encantado. El problema es que yo no sé ni por dónde ir en busca de respuestas.

Answer 1

El grupo de gestión de la notación es más bien abstracto: su propósito es actuar como abreviación en expresiones largas, con derivadas parciales. Creo que de $\nabla$ como un vector operador, que tiene componentes $$ \vec\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial_x}, \frac{\partial}{\partial_y}, \frac{\partial}{\partial_z}\right) $$

No importa a qué tipo de función que aplique, el efecto es siempre $$ (\nabla f)_i = \frac{\partial f}{\partial x_i} $$

La pregunta es, ¿qué significado matemático puede ser dada a la CARTA para cada uno de los $f$. Si $f$ es un escalar, entonces cada componente de $\nabla f$ es una única función real, y juntos hacen un vector (sería inexacto decir que cada componente es un escalar, porque no transformar como escalares bajo transformaciones de coordenadas) - esto se llama el gradiente de $f$. Si $\bf f$ es un vector, las derivadas parciales actuar en cada uno de sus componentes de forma independiente (esto es como si multiplicamos el vector $\bf f$ con el "escalar" $\partial/\partial x_i$), por lo que cada "componente" de $\nabla \bf f$, un triple de números reales, y en tanto no se realicen transformaciones de coordenadas, su estructura combinada puede ser adecuadamente representado por una matriz, pero tenga cuidado de no mezclar los vectores fila de la columna con vectores; usted debe pensar en el primero ($\nabla$) como la columna y el segundo ($\bf f$) como la fila para obtener una matriz.

Esta forma de multiplicar los vectores que se refiere como un exterior de productos para ponerlo en contraste con el interior (un.k.una. dot) del producto, que implica la suma sobre índices; en la segunda, cuando el del operador está involucrado, como en $\nabla \cdot \bf f$, cada una de las $\partial/\partial x_i$ actúa sólo en el correspondiente $f_i$, y el resultado final es la suma de todos aquellos que, por un escalar se llama la divergencia de $\bf f$ (en la notación matricial, esta vez la primera es la fila y el segundo la columna, para producir un $1\times 1$ matriz en la cual se puede representar por un escalar).

Si se combinan más de dos vectores, algunos de los cuales pueden ser $\nabla$'s, es muy importante también mantener un seguimiento de lo que se multiplica con qué, y de qué manera. Al igual que con ordinario vectores, $\bf (a\cdot b)c$ es muy diferente de la de $\bf a(b \cdot c)$; la razón por la que son diferentes, no es que estas multiplicaciones no asociativo (que lo son); la razón es que el producto escalar no es el mismo tipo de producto como el producto de escalares con el vector (de hecho, este último en realidad es más como una exterior el producto), por eso no podemos cambiarlo todo. Con dos nablas, por ejemplo, podemos tener $$ (\nabla \cdot \nabla) {\bf f} = \left(\frac{\partial^2}{\partial_x^2} + \frac{\partial^2}{\partial_y^2}+ \frac{\partial^2}{\partial_z^2}\right) {\bf f} = \nabla^2 \bf f$$

Este es un ejemplo de Laplace del operador, que es un operador escalar, actuando en un vector - sólo actúa sobre cada componente por separado, como $a{\bf u} = (au_x, au_y, au_z)$ para cualquier escalar $a$. Pero no es lo mismo que $\nabla (\nabla \cdot \bf f)$, el gradiente de la divergencia de $\bf f$.

En el caso de $\bf U\cdot \nabla \bf u$, el orden en el que las multiplicaciones se llevan a cabo es irrelevante, siempre y cuando el tipo correcto de multiplicaciones que se realiza para cada uno. Pero, como cualquiera que haya hecho gran matriz cálculos que te digo, es más eficiente trabajar con un rango menor de objetos. También es más fácil la visualización de los objetos intermedios de esa manera. Por lo que yo diría que la mejor manera de imaginar es $$ ({\bf U} \cdot \nabla) {\bf u} = \left(U_x\frac{\partial}{\partial_x} + U_y\frac{\partial}{\partial_y}+ U_z\frac{\partial}{\partial_z}\right) \bf u $$

El objeto en el paréntesis no tiene componentes; es el escalar (operador) $\bf U \cdot \nabla$; cuando se multiplica con el vector $\bf u$ produce un vector, y la multiplicación procede de acuerdo a los principios de la multiplicación de vectores con escalares de cada componente de $\bf u$ obtiene actuado por el operador de forma independiente de los demás.

En la notación matricial, esto sería escrito con $\bf U$ como un vector fila, $\nabla$ columna, y $\bf u$ fila. El resultado será un vector fila con la misma estructura que el vector de fila $\bf u$.