Encuentra$f'(t)$, donde$f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\cos(xt)dx$

Question

Deje $f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\cos(xt)dx.$ Finos $f'(t).$

Pensé en dos enfoque diferente. Creo que mi primera solución es exacta, pero me gustaría trabajar en la segunda solución y tener una precisa argumento basado en epsilon, te agradezco si me puedes ayudar.

$\mathbf{My\: frist\: solution:}$

Agregar $i\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\sin(xt)dx$, por lo que tenemos

$$f(t)=\Re{(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2+ixt}}dx)=\Re(e^{-\frac{t^2}{4}}\int^{\infty}_{-\infty}e^{-(x-\frac{it}{2})^2}dx).$$ Por lo tanto $$f(t)=\sqrt{\pi}\exp{\{-\frac{t^2}{4}}\}$$ y así $$f'(t)=-\frac{\sqrt{\pi }t}{2}\exp{\{-\frac{t^2}{4}}\}$$.

$\mathbf{Second\: solution}$

Por Leibniz integral de la regla, yo sé

$$f'(t)=-2\int_{0}^{\infty}xe^{-x^2}\sin{(xt)}dx$$.

Definir $g(t)=-2\int_{0}^{\infty}xe^{-x^2}\sin{(xt)}dx$

Dado $\epsilon$, tenemos que encontrar la $h$ suficiencia pequeños, que hemos

$$|\frac{f(t+h)-f(t)}{h}-g(t)|\leq \epsilon$$.

Por definición de $f$ $g$ hemos de tener la siguiente

$$|\frac{f(t+h)-f(t)}{h}-g(t)|=2|\int^{\infty}_0e^{-x^2}\big{(}\frac{\cos(x(t+h))-\cos(tx)}{h}+x\sin(xt))dx|$$

COMO $$\frac{d}{dt}(\cos{xt})=-x\sin{(xt)}$$

para el $\epsilon$, exsist $h$ lo suficientemente pequeño tal que

$$|\frac{\cos{(xt+xh)}-\cos{xt}}{h}+x\sin{(xt)}|\leq \epsilon$$

Por lo tanto

$$2|\int^{\infty}_0e^{-x^2}\big{(}\frac{\cos(x(t+h))-\cos(tx)}{h}+x\sin(xt))dx|\leq 2\epsilon\int_0^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}\epsilon,$$

lo que muestra que $f'(t)=-2\int_{0}^{\infty}xe^{-x^2}\sin{(xt)}dx.$

Answer 1

Reemplace $\cos(xt)$ $\frac{e^{ixt}+e^{-ixt}}{2}$ y mira $$h(a) = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}e^{2ax} dx $$

En su segunda parte se demostró que $h'(a) = \int_{-\infty}^\infty 2x e^{-x^2}e^{2ax} dx$. Otra forma es la integración de $\int_0^b \int_{-\infty}^\infty 2x e^{-x^2}e^{2ax} dxda= \int_{-\infty}^\infty \int_0^b 2x e^{-x^2}e^{2ax}da dx= h(a)-h(0)$, y dado que el integrando es continuo significa $h'(b) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\int_b^{b+h} \int_{-\infty}^\infty 2x e^{-x^2}e^{2ax} dxda= \int_{-\infty}^\infty 2x e^{-x^2}e^{2bx} dx$.

La integración por partes $$h'(a) =\int_{-\infty}^\infty 2x e^{-x^2}e^{2ax} dx=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}2a e^{2ax} dx= 2a h(a)$$ Thus $$\log h(a) = \log h(0)+\int_0^a \frac{h'(b)}{h(b)} db = \log h(0)+\int_0^a 2b db = \log h(0) + a^2$$ and $ h(a) = e^{a^2} h(0)=e^{a^2}\sqrt{\pi}$.

Acerca de la primera parte, en la nota de análisis real $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx =\int_{-\infty}^\infty e^{-(x-a)^2} dx$ es correcta sólo para $a \in \mathbb{R}$.

En análisis complejo que es correcto para $a \in \mathbb{C}$ cuando se utiliza la integral de Cauchy teorema.

Otro método es para $a \in \mathbb{R}$, $h(a) =e^{a^2} \int_{-\infty}^\infty e^{-(x-a)^2} dx=e^{a^2} \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx= \sqrt{\pi} e^{a^2}$. Desde $h(a)-\sqrt{\pi} e^{a^2}$ es analítica para $a \in \mathbb{C}$ y no constantes de funciones analíticas que sólo han aislado ceros y $h(a)-\sqrt{\pi} e^{a^2} = 0$$a \in \mathbb{R}$,$h(a)-\sqrt{\pi} e^{a^2} = 0$$a \in \mathbb{C}$.

Answer 2

Deje $f(t)$ ser dado por la integral

$$f(t)=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\cos(xt)\,dx\tag1$$

La diferenciación $(1)$ revela

$$f'(t)=-\int_{-\infty}^\infty xe^{-x^2}\sin(xt)\,dx\tag2$$

Integrando por partes la integral en el lado derecho de la $(2)$ $u=\sin(xt)$ $v=-\frac12e^{-x^2}$ rendimientos

$$\begin{align} f'(t)&=- \frac12t\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\cos(xt)\,dx\\\\ &=-\frac12 tf(t)\tag3 \end{align}$$

Por lo tanto $f(t)$ satisface los ODS

$$f'(t)+\frac12 tf(t)=0\tag4$$

sujeto a la condición inicial $f(0)=\sqrt \pi$. Es sencillo de solucionar $(4)$ sujeto a la condición inicial. Procedimiento nos encontramos con que

$$f(t)=\sqrt \pi e^{-t^2/4} \tag5$$

La diferenciación $(5)$, obtenemos

$$f'(t)=-\frac{\sqrt \pi}2 te^{-t^2/2}$$