Justifica que los vectores son linealmente dependientes

Question

Deje $V$ ser un verdadero espacio vectorial y $a,b,c,d,e\in V$.

Tenemos los vectores \begin{align*}&v_1=a+b+c \\ &v_2=2a+2b+2c-d \\ &v_3=a-b-e \\ &v_4=5a+6b-c+d+e \\ &v_5=a-c+3e \\ &v_6=a+b+d+e\end{align*}

Quiero justificar que estos vectores son linealmente dependientes.

$$$$

Estos seis vectores son linealmente dependetn iff podemos obtener la zer0-vector por una combinación lineal de estos vectores, \begin{equation*}\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3+\lambda_4v_4+\lambda_5v_5+\lambda_6v_6=0\end{ecuación*} donde, al menos, de los coeficientes $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4, \lambda_4$ o $\lambda_6$ no es igual a cero.

Tenemos las siguientes:

\begin{align*}&\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3+\lambda_4v_4+\lambda_5v_5+\lambda_6v_6=0 \\ & \Rightarrow \lambda_1\left (a+b+c\right )+\lambda_2\left (2a+2b+2c-d\right )+\lambda_3\left (a-b-e\right )+\lambda_4\left (5a+6b-c+d+e\right )+\lambda_5\left (a-c+3e\right )+\lambda_6\left (a+b+d+e\right )=0 \\ & \Rightarrow \lambda_1a+\lambda_1b+\lambda_1c+2\lambda_2 a+2\lambda_2 b+2\lambda_2 c-\lambda_2d+\lambda_3 a-\lambda_3 b-\lambda_3 e+5\lambda_4 a+6\lambda_4 b-\lambda_4 c+\lambda_4 d+\lambda_4 e+\lambda_5 a-\lambda_5 c+3\lambda_5 e+\lambda_6a+\lambda_6b+\lambda_6d+\lambda_6e=0 \\ & \Rightarrow a\left (\lambda_1+2\lambda_2+\lambda_3+5\lambda_4+\lambda_5+\lambda_6\right )+b\left (\lambda_1+2\lambda_2-\lambda_3+6\lambda_4+\lambda_6\right )+c\left (\lambda_1+2\lambda_2 -\lambda_4-\lambda_5\right )+d\left (-\lambda_2+\lambda_4+\lambda_6\right ) +e\left (-\lambda_3 +\lambda_4 +3\lambda_5 +\lambda_6\right )=0\end{align*}

Es todo correcto? ¿Cómo podemos continuar?

Utilizamos el hecho de que $a,b,c,d,e\in V$ ? Pero, ¿cómo?

Answer 1

El espacio abarcado por$5$ vectores es como máximo (si a, b, c, d, e resultan ser linealmente independientes)$5$ dimensional. Usted está preguntando si los vectores$6$ en dicho espacio son linealmente dependientes, pero deben ser por algo llamado lema de intercambio.

Answer 2

Si selecciona el conjunto$\{v_k \}_{k=1}^{\color{red}{5}}$, puede escribir

$$ \ left (\begin{array}{c}v_1\\ v_2 \\ v_3 \\v_4 \\ v_5 \end {array} \ right) = \ left (\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & -1 \\ 5 & 6 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 3 \end {array} \ right) \ left (\begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ d \\ e\end {array} \ right) $$

Que se puede resolver para$\{a, \cdots, e \}$ ya que la matriz como determinante es diferente de cero (-44). Esto significa que es posible escribir$a, \cdots, e$ como una combinación lineal de$v_1, \cdots, v_5$.

Esto significa que$v_6$ se puede escribir como una combinación lineal de$\{v_k \}_{k=1}^{\color{red}{5}}$