Pruebalo $\frac{d}{dx}(xJ_\alpha(x)J_{\alpha+1}(x))=x(J_\alpha^2(x)-J_{\alpha+1}^2(x))$

Question

Suponga que $J_\alpha(x)$ se define de la siguiente manera: (en Realidad, Es una de las soluciones de Bessel de educación a distancia) $J_\alpha(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n! \Gamma(n+\alpha+1)}(\frac{x}{2})^{2n+\alpha}$

Tal que $\Gamma(x)=\int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t}dt$.

Sabemos que (i) y (ii) mantenga.

(i) $\frac{d}{dx}(x^\alpha J_\alpha(x))=x^\alpha J_{\alpha-1}(x)$
(ii) $\frac{d}{dx}(x^{-\alpha} J_\alpha(x))=-x^{-\alpha}J_{\alpha+1}(x)$

Pregunta:

El uso de (i) y (ii), Probar que:

a) $J'_\alpha(x)=\frac{1}{2}(J_{\alpha-1}(x)-J_{\alpha+1}(x))$
b) $\frac{2\alpha}{x}J_{\alpha}(x)=J_{\alpha-1}(x)+J_{\alpha+1}(x)$
c) $\frac{d}{dx}(xJ_\alpha(x)J_{\alpha+1}(x))=x(J_\alpha^2(x)-J_{\alpha+1}^2(x))$

Yo:

a) en Primer lugar, he calculado la derivada de la LHS de (i) y, a continuación, multiplica toda la ecuación por $x^{-\alpha}$. Yo hice lo mismo para (ii) y, a continuación, multiplicado por el $x^\alpha$. La suma de estas dos ecuaciones da el resultado deseado.

b) lo resuelto similar a la de una, con una pequeña diferencia. (Multiplicando por $-x^\alpha) $

Estoy atascado en demostrar (c). Escribí mucho, pero no funcionó...

Alguna idea?

Answer 1

Aquí hay un método sencillo que usa solo las dos identidades que se le dan al inicio de la pregunta.

---

Tenga en cuenta que:$$\color{red}{x^{\alpha+1}J_{\alpha+1}(x)}\cdot \color{blue}{x^{-\alpha} J_\alpha(x)}=xJ_{\alpha}(x)J_{\alpha+1}(x)$ $ Por lo tanto, podemos aplicar la regla del producto con$u=x^{\alpha+1}J_{\alpha+1}(x)$ y$v=x^{-\alpha}J_{\alpha}(x)$:$$\begin{align}(uv)'&=u'v+uv'\\&=(x^{\alpha+1}J_{\alpha+1}(x))'\cdot x^{-\alpha}J_{\alpha}(x)+x^{\alpha+1}J_{\alpha+1}(x)\cdot (x^{-\alpha}J_{\alpha}(x))' \end{align}$ $ Sustituyendo (i) y (ii) y simplificando la identidad requerida ps

Answer 2

ps

---

Use la regla del producto,$$\frac{\text{d}}{\text{d} x}\left(x\text{J}_{\alpha}(x)\text{J}_{\alpha+1}(x)\right)=$, donde$\frac{\text{d}}{\text{d}x}(uv)=v\frac{\text{d}u}{\text{d}x}+u\frac{\text{d}v}{\text{d}x}$ y$u=x$:

---

$v=\text{J}_{\alpha}(x)$ $$$\text{J}_{\alpha}(x)\text{J}_{1+\alpha}(x)\left[\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x)\right]+x\left[\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\text{J}_{\alpha}(x)\text{J}_{1+\alpha}(x)\right)\right]=$ $$$\text{J}_{\alpha}(x)\text{J}_{1+\alpha}(x)\left[1\right]+x\left[\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\text{J}_{\alpha}(x)\text{J}_{1+\alpha}(x)\right)\right]=$ $

---

Use la regla del producto,$$\text{J}_{\alpha}(x)\text{J}_{1+\alpha}(x)+x\left[\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\text{J}_{\alpha}(x)\text{J}_{1+\alpha}(x)\right)\right]=$, donde$\frac{\text{d}}{\text{d}x}(uv)=v\frac{\text{d}u}{\text{d}x}+u\frac{\text{d}v}{\text{d}x}$ y$u=\text{J}_{\alpha}(x)$:

---

$v=\text{J}_{\alpha+1}(x)$ $$$\text{J}_{\alpha}(x)\text{J}_{1+\alpha}(x)+x\left[\text{J}_{1+\alpha}(x)\cdot\frac{\text{J}_{\alpha-1}-\text{J}_{1+\alpha}(x)}{2}+\text{J}_{\alpha}(x)\left[\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\text{J}_{1+\alpha}(x)\right)\right]\right]=$ $$$\text{J}_{\alpha}(x)\text{J}_{1+\alpha}(x)+x\left[\text{J}_{1+\alpha}(x)\cdot\frac{\text{J}_{\alpha-1}-\text{J}_{1+\alpha}(x)}{2}+\text{J}_{\alpha}(x)\left[\frac{1}{2}\left(\text{J}_{\alpha}(x)-\text{J}_{2+\alpha}(x)\right)\right]\right]=$ $