¿Cómo puedo resolver$a_{n+2} + 4a_n = n \cdot 2^n$ para una solución no homogénea?

Question

Resuelve$a_{n+2} + 4a_n = n \cdot 2^n\;$ para$a_0 =1$% y$a_1 =0$ no homogéneo

Lo estaba intentando, pero creo que está mal. Resolví una pregunta con$2^n$ pero tenía un formulario con$A \cdot 2^n$ pero creo que esto requiere una solución diferente a esta.

Answer 1

Sugerencia: divida por$\,2^n\,$ y escríbalo como$\displaystyle\;\frac{a_{n+2}}{2^n} + \frac{a_n}{2^{n-2}} = n\,$. Deje$b_n=\cfrac{a_n}{2^{n-2}}$ y resuelva$\,b_{n+2}=n - {b_n}\,$.

Answer 2

Tenemos aquí un lineal de la recurrencia de la relación.

Resolver en primer lugar la ecuación homogénea : $$h_{n+2}+4h_n=0$$

Se ha ecuación característica $x^2+4=0$ $\pm 2i$ son raíces.

Las soluciones de la ecuación homogénea se dan por $h_n=2^n(A\cos(\frac{n\pi}2)+B\sin(\frac{n\pi}2))$

Ahora tenemos que encontrar una solución particular de la ecuación completa: $$p_{n+2}+4p_n=n\times2^n$$

Cuando la HR es de la forma $P(n)\times r^n$ $P$ un polinomio, tenemos que ver si $r$ es una raíz de la ecuación característica o no.

Aquí $r=2$ no es una raíz, por lo que vamos a buscar una solución a$Q(n)\times 2^n$$\deg Q=\deg P$.

[En el caso de $r$ es una raíz, la búsqueda de $\deg Q=\deg P+1$, o incluso el $+2$ $r$ es una doble raíz, y así sucesivamente]

Por lo tanto, con $p_n=(Cn+D)2^n$ obtenemos $b_{n+2}+4b_n=2^n(8Cn+8C+8D)=n2^n\iff\begin{cases}C=\frac 18\\ D=-\frac 18\end{cases}$

Finalmente aplicamos las condiciones iniciales:

La solución general es : $a_n=h_n+p_n=\left(\frac{n-1}8+A\cos(\frac{n\pi}2)+B\sin(\frac{n\pi}2)\right)2^n$

$a_0=-\frac 18+A=1\iff A=\frac 98$

$a_1=2B=0\iff B=0$

$a_n=\left(n-1+9\cos(\frac{n\pi}2)\right)2^{n-3}$